## 問題の内容

## 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 5x + 8$ に点 $(3, 1)$ から2本の接線を引くとき、以下の問いに答えます。

(1) 2本の接線の方程式を求めます。

(2) 放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積を求めます。

## 解き方の手順

(1) 2本の接線の方程式を求める。

接点を $(t, t^2 - 5t + 8)$ とします。

$y = x^2 - 5x + 8$ を微分すると、

$y' = 2x - 5$

よって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 5t + 8) = (2t - 5)(x - t)$

$y = (2t - 5)x - t^2 + 8$

この接線が点 $(3, 1)$ を通るので、

$1 = (2t - 5) \cdot 3 - t^2 + 8$

$1 = 6t - 15 - t^2 + 8$

$t^2 - 6t + 8 = 0$

$(t - 2)(t - 4) = 0$

$t = 2, 4$

$t=2$ のとき、接線の方程式は $y = (2 \cdot 2 - 5)x - 2^2 + 8 = -x + 4$

$t=4$ のとき、接線の方程式は $y = (2 \cdot 4 - 5)x - 4^2 + 8 = 3x - 8$

(2) 放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積を求める。

2つの接点の $x$ 座標は $2$ と $4$ です。

求める面積 $S$ は

$S = \int_2^4 \{(x^2 - 5x + 8) - (-x + 4)\} dx + \int_2^4 \{(3x - 8) - (x^2 - 5x + 8)\} dx$

$S = \int_2^4 (x^2 - 4x + 4) dx = \int_2^4 (x - 2)^2 dx$

$S = \left[ \frac{1}{3}(x - 2)^3 \right]_2^4$

$S = \frac{1}{3}(4 - 2)^3 - \frac{1}{3}(2 - 2)^3 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}$

## 最終的な答え

(1) 2本の接線の方程式は $y = -x + 4$ と $y = 3x - 8$

(2) 放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積は $\frac{8}{3}$