$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ が相似で、その相似比が $2:3$ である。$\triangle ABC$ の面積が $12 \text{ cm}^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ が相似で、その相似比が $2:3$ である。$\triangle ABC$ の面積が $12 \text{ cm}^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しい。したがって、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ の面積比は $2^2 : 3^2 = 4:9$ である。

$\triangle ABC$ の面積が $12 \text{ cm}^2$ であるから、$\triangle DEF$ の面積を $x \text{ cm}^2$ とすると、

$$4:9 = 12:x$$

という比例式が成り立つ。この比例式を解く。

$$4x = 9 \times 12$$

$$4x = 108$$

$$x = \frac{108}{4}$$

$$x = 27$$

したがって、$\triangle DEF$ の面積は $27 \text{ cm}^2$ である。

3. 最終的な答え

$\triangle DEF$ の面積は $27 \text{ cm}^2$ である。