三角形ABCにおいて、AB=4, AC=3のとき、BCの長さを求める問題です。ただし、三角形の種類（直角三角形など）や角度の情報がないため、BCの長さの範囲を求めることになります。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, AC=3のとき、BCの長さを求める問題です。ただし、三角形の種類（直角三角形など）や角度の情報がないため、BCの長さの範囲を求めることになります。

2. 解き方の手順

三角形の成立条件を利用します。三角形の3辺の長さをa, b, cとすると、

$|a - b| < c < a + b$

という関係が成り立ちます。

この問題では、AB=4, AC=3なので、BCの長さをxとすると、

$|4 - 3| < x < 4 + 3$

$1 < x < 7$

この範囲が分かります。しかし、具体的な角度の情報がないため、余弦定理を用いると、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$x^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos A$

$x^2 = 16 + 9 - 24 \cos A$

$x^2 = 25 - 24 \cos A$

ここで、$-1 \le \cos A \le 1$ なので、

$-24 \le -24 \cos A \le 24$

したがって、

$25 - 24 \le x^2 \le 25 + 24$

$1 \le x^2 \le 49$

$1 \le x \le 7$

$x$は1より大きく7より小さいので,$\cos A =1$の時最小値$x=1$,$\cos A = -1$の時最大値$x=7$になります.

$\cos A = 1$ のとき，$x^2 = 1$　よって，$x = 1$

$\cos A = -1$ のとき，$x^2 = 49$　よって，$x = 7$

三角形が成立するためには、$1 < x < 7$である必要があります。

ここでは$x^2$を求めるので、余弦定理の式を考えます。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos A$

$BC^2 = 16 + 9 - 24 \cos A = 25 - 24 \cos A$

$\cos A$ の範囲は $-1 \le \cos A \le 1$なので、

$\cos A = -1$ のとき、$BC^2 = 25 - 24(-1) = 25 + 24 = 49$

$\cos A = 1$ のとき、$BC^2 = 25 - 24(1) = 25 - 24 = 1$

したがって、$1 \le BC^2 \le 49$ となり、$BC^2$ の最小値は1、最大値は49となります。

余弦定理より、BCの長さは $\sqrt{25-24cosA}$となるので, ア は $25-24cosA$ です.

またcosAの範囲が-1から1なので、$BC^2$の取りうる値の範囲は 1から49となります。

したがって、BCの長さの取りうる値の範囲は 1から7となります。

$\cos A = -1$　の時、BC=7

$\cos A = 1$　の時、BC=1

三角形の成立条件より，$AB-AC<BC<AB+AC$ つまり、$1<BC<7$

$BC^2=25-24\cos A$

3. 最終的な答え

49