与えられた2つの円のそれぞれについて、中心の座標と半径を求め、中心間の距離と半径の和、差を比較することで、2つの円の位置関係を判定します。

1. 問題の内容

与えられた2つの円のそれぞれについて、中心の座標と半径を求め、中心間の距離と半径の和、差を比較することで、2つの円の位置関係を判定します。

2. 解き方の手順

(1)

円1: $x^2 + y^2 = 9$

中心: $(0, 0)$、半径: $r_1 = \sqrt{9} = 3$

円2: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 36$

中心: $(1, 2)$、半径: $r_2 = \sqrt{36} = 6$

中心間の距離 $d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

$r_1 + r_2 = 3 + 6 = 9$

$|r_1 - r_2| = |3 - 6| = 3$

$d < |r_1 - r_2|$ なので、円1は円2の内部にある（内包する）。

(2)

円1: $(x-3)^2 + y^2 = 4$

中心: $(3, 0)$、半径: $r_1 = \sqrt{4} = 2$

円2: $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ を平方完成する。

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + 4 - 1 - 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$

中心: $(1, -2)$、半径: $r_2 = \sqrt{1} = 1$

中心間の距離 $d = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$

$|r_1 - r_2| = |2 - 1| = 1$

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ なので、2つの円は2点で交わる。

(3)

円1: $x^2 + y^2 + 2x - 8y - 73 = 0$ を平方完成する。

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 8y) - 73 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) - 73 - 1 - 16 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 90$

中心: $(-1, 4)$、半径: $r_1 = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

円2: $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$ を平方完成する。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) - 35 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) - 35 - 4 - 1 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 40$

中心: $(-2, 1)$、半径: $r_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

中心間の距離 $d = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$r_1 + r_2 = 3\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 5\sqrt{10}$

$|r_1 - r_2| = |3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}| = \sqrt{10}$

$d = |r_1 - r_2|$ なので、円2は円1に内接する。

3. 最終的な答え

(1) 円1は円2の内部にある。

(2) 2つの円は2点で交わる。

(3) 円2は円1に内接する。