直角三角形が与えられており、角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

直角三角形が与えられており、角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた直角三角形において、斜辺の長さ $c$ を計算します。ピタゴラスの定理より $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$です。

* $\sin \theta = \frac{対辺}{斜辺} = \frac{3}{5}$

* $\cos \theta = \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{4}{5}$

* $\tan \theta = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

* $\sin \theta = \frac{3}{5}$

* $\cos \theta = \frac{4}{5}$

* $\tan \theta = \frac{3}{4}$

## 問題2

1. 問題の内容

2辺の長さが $a, b$ で、その2辺のなす角が $\theta$ の三角形がある。この三角形の高さ $h$ と面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

高さ $h$ は $a$ と $\theta$ を用いて $h = a \sin \theta$ と表されます。

三角形の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$ で求められます。この場合、$S = \frac{1}{2} b h$ となります。

$h = a \sin \theta$ を $S = \frac{1}{2} b h$ に代入すると、$S = \frac{1}{2} a b \sin \theta$ となります。

3. 最終的な答え

* 高さ: $h = a \sin \theta$

* 面積: $S = \frac{1}{2} a b \sin \theta$

## 問題3

1. 問題の内容

図の煙突の高さを求める問題です。煙突までの距離が $50$ m、煙突を見上げる角度がそれぞれ $30^\circ$ と $45^\circ$ である情報が与えられています。

2. 解き方の手順

左側の三角形において、煙突の足元から左側の観測点までの距離を $x$ とすると、右側の観測点までの距離は $50 - x$ となります。

高さ $H$ について、以下の2つの関係式が成り立ちます。

$H = x \tan 30^\circ$

$H = (50 - x) \tan 45^\circ$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan 45^\circ = 1$ より、

$H = \frac{x}{\sqrt{3}}$

$H = 50 - x$

これらの式を連立して解きます。$\frac{x}{\sqrt{3}} = 50 - x$ より、$x = \sqrt{3}(50 - x)$。

$x = 50\sqrt{3} - \sqrt{3}x$ なので、$x(1 + \sqrt{3}) = 50\sqrt{3}$。

$x = \frac{50\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$。分母を有理化すると、$x = \frac{50\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{50\sqrt{3} - 150}{1 - 3} = \frac{50\sqrt{3} - 150}{-2} = 75 - 25\sqrt{3}$

$H = 50 - x = 50 - (75 - 25\sqrt{3}) = -25 + 25\sqrt{3} = 25(\sqrt{3} - 1)$

3. 最終的な答え

$H = 25(\sqrt{3} - 1)$

## 問題4

1. 問題の内容

単位円上の点 $(-0.8, -)$ を通る直線と $x$ 軸のなす角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

図より、$\cos \theta = -0.8 = -\frac{4}{5}$ であることがわかります。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$。

$\theta$ は第3象限の角であるから $\sin \theta < 0$。よって、$\sin \theta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$。

3. 最終的な答え

* $\sin \theta = -\frac{3}{5}$

* $\cos \theta = -\frac{4}{5}$

* $\tan \theta = \frac{3}{4}$

## 問題5

1. 問題の内容

$\sin 120^\circ$, $\cos 210^\circ$, $\tan (-45^\circ)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan (-45^\circ) = - \tan 45^\circ = -1$

3. 最終的な答え

* $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan (-45^\circ) = -1$