円 $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ 上の点 $(1, 4)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ 上の点 $(1, 4)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を変形して、円の中心と半径を求めます。

$x^2 + 4x + y^2 = 21$

$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = 21 + 4$

$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

したがって、円の中心は $(-2, 0)$ であり、半径は $5$ です。

円の中心を $(a, b)$、接点を $(x_1, y_1)$ とすると、接線の方程式は次のようになります。

$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$

今回の問題では、$(a, b) = (-2, 0)$、$(x_1, y_1) = (1, 4)$、そして $r^2 = 25$ なので、これらを代入します。

$(1 - (-2))(x - (-2)) + (4 - 0)(y - 0) = 25$

$(1 + 2)(x + 2) + 4y = 25$

$3(x + 2) + 4y = 25$

$3x + 6 + 4y = 25$

$3x + 4y = 19$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、$3x + 4y = 19$ です。