円 $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ 上の点 $(1, 4)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ 上の点 $(1, 4)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + 4x + y^2 = 21$

$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = 21 + 4$

$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

これは中心が $(-2, 0)$ で半径が $5$ の円である。

円の中心をA $(-2, 0)$ 、接点をP $(1, 4)$ とする。

接線は、円の中心Aと接点Pを結ぶ直線APに垂直である。

直線APの傾き $m_{AP}$ を求める。

$m_{AP} = \frac{4 - 0}{1 - (-2)} = \frac{4}{3}$

接線の傾き $m$ は、直線APに垂直であるから、

$m = -\frac{1}{m_{AP}} = -\frac{3}{4}$

接線の方程式は、傾き $m = -\frac{3}{4}$ で点 $(1, 4)$ を通る直線であるから、

$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 1)$

$4(y - 4) = -3(x - 1)$

$4y - 16 = -3x + 3$

$3x + 4y - 19 = 0$

3. 最終的な答え

$3x + 4y - 19 = 0$