2点 A(1, 1) と B(4, -2) から等距離にある直線 $y = 3x - 1$ 上の点の座標を求めます。

1. 問題の内容

2点 A(1, 1) と B(4, -2) から等距離にある直線 $y = 3x - 1$ 上の点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

求める点を P(x, y) とします。点 P は直線 $y = 3x - 1$ 上にあるので、$y = 3x - 1$ が成り立ちます。

点 P が点 A と点 B から等距離にあるので、PA = PB が成り立ちます。距離の公式を用いて、PA と PB を計算します。

$PA = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$

$PB = \sqrt{(x-4)^2 + (y-(-2))^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y+2)^2}$

PA = PB より、$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y+2)^2}$ が成り立ちます。両辺を2乗すると、

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = (x-4)^2 + (y+2)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 4y + 4$

$-2x - 2y + 2 = -8x + 4y + 20$

$6x - 6y = 18$

$x - y = 3$

$y = 3x - 1$ なので、これを $x - y = 3$ に代入します。

$x - (3x - 1) = 3$

$x - 3x + 1 = 3$

$-2x = 2$

$x = -1$

$y = 3x - 1$ に $x = -1$ を代入すると、

$y = 3(-1) - 1 = -3 - 1 = -4$

したがって、求める点の座標は (-1, -4) です。

3. 最終的な答え

(-1, -4)