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問題は全部で5問あり、三角比に関するものです。 * 問題1：直角三角形における $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求めます。 * 問題2：2辺とその間の角が分かっている三角形の高さと面積を求める式を求めます。 * 問題3：角度と底辺の長さが与えられた図形の高さ（煙突の高さ）を求めます。 * 問題4：単位円上の点の座標から $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求めます。 * 問題5：$\sin 120^\circ$, $\cos 210^\circ$, $\tan (-45^\circ)$ の値を求めます。

幾何学三角比三角関数直角三角形単位円角度
2025/6/29
## 問題の回答

1. **問題の内容**

問題は全部で5問あり、三角比に関するものです。
* 問題1：直角三角形における sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta, tan⁡θ\tan \theta の値を求めます。
* 問題2：2辺とその間の角が分かっている三角形の高さと面積を求める式を求めます。
* 問題3：角度と底辺の長さが与えられた図形の高さ（煙突の高さ）を求めます。
* 問題4：単位円上の点の座標から sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta, tan⁡θ\tan \theta の値を求めます。
* 問題5：sin⁡120∘\sin 120^\circ, cos⁡210∘\cos 210^\circ, tan⁡(−45∘)\tan (-45^\circ) の値を求めます。

2. **解き方の手順**

* **問題1**
まず、図の直角三角形の斜辺の長さを求めます。三平方の定理より、斜辺の長さは 32+42=9+16=25=5\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 です。
sin⁡θ=対辺斜辺=35\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{5}
cos⁡θ=隣辺斜辺=45\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{4}{5}
tan⁡θ=対辺隣辺=34\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{3}{4}
* **問題2**
三角形の高さ hh は、h=asin⁡θh = a \sin \theta で表されます。
三角形の面積 SS は、S=12bh=12absin⁡θS = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} ab \sin \theta で表されます。
* **問題3**
煙突の高さ HH から、左側の三角形の底辺を xx、右側の三角形の底辺を 50−x50-x とします。
tan⁡30∘=Hx\tan 30^\circ = \frac{H}{x} より、x=Htan⁡30∘=3Hx = \frac{H}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3}H
tan⁡45∘=H50−x\tan 45^\circ = \frac{H}{50-x} より、50−x=H50 - x = H
50−3H=H50 - \sqrt{3}H = H
50=H(1+3)50 = H(1 + \sqrt{3})
H=501+3H = \frac{50}{1 + \sqrt{3}}
分母を有理化すると、
H=50(1−3)(1+3)(1−3)=50(1−3)1−3=50(1−3)−2=−25(1−3)=25(3−1)H = \frac{50(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{50(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{50(1 - \sqrt{3})}{-2} = -25(1 - \sqrt{3}) = 25(\sqrt{3} - 1)
* **問題4**
単位円上の点の座標が (−0.8,−0.6)(-0.8, -0.6) 付近にあるので、cos⁡θ=−0.8\cos \theta = -0.8、sin⁡θ=−0.6\sin \theta = -0.6 となります。
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−0.6−0.8=34=0.75\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-0.6}{-0.8} = \frac{3}{4} = 0.75
* **問題5**
sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘=32\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡210∘=cos⁡(180∘+30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(−45∘)=−tan⁡45∘=−1\tan (-45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1

3. **最終的な答え**

* 問題1：
* sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5}
* cos⁡θ=45\cos \theta = \frac{4}{5}
* tan⁡θ=34\tan \theta = \frac{3}{4}
* 問題2：
* h=asin⁡θh = a \sin \theta
* S=12absin⁡θS = \frac{1}{2} ab \sin \theta
* 問題3：
* H=25(3−1)H = 25(\sqrt{3} - 1)
* 問題4：
* sin⁡θ=−0.6\sin \theta = -0.6
* cos⁡θ=−0.8\cos \theta = -0.8
* tan⁡θ=0.75\tan \theta = 0.75
* 問題5：
* sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
* cos⁡210∘=−32\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}
* tan⁡(−45∘)=−1\tan (-45^\circ) = -1

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