長方形ABCDにおいて、$AB=6$, $AD=12$ である。点Pは辺ABの中点Mを出発し、毎秒3の速さで周上をAを経てDに向かう。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さで周上をBを経て辺BCの中点Nに向かう。点QはNに着いた後は動かない。辺CDの中点をOとしたとき、出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを答える。ただし、$0<x\leqq1$とする。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB=6$, $AD=12$ である。点Pは辺ABの中点Mを出発し、毎秒3の速さで周上をAを経てDに向かう。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さで周上をBを経て辺BCの中点Nに向かう。点QはNに着いた後は動かない。辺CDの中点をOとしたとき、出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを答える。ただし、$0<x\leqq1$とする。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qの位置を考える。

- 点Mは辺ABの中点なので、$AM = MB = AB/2 = 6/2 = 3$

- 点Nは辺BCの中点なので、$BN = NC = BC/2 = AD/2 = 12/2 = 6$

$0 < x \leqq 1$ において、

- 点PはMからAに向かっているので、MP = $3x$。MA=3なので、点Pは線分MA上にある。したがって、$AP=3-3x$

- 点QはMからBに向かっているので、MQ = $3x$。したがって、$BQ=3-3x$

このとき、点OはCDの中点なので、長方形ABCDの中心をEとすると、$OE = AB/2 = 3$。

三角形OPQの面積は、三角形OEQと三角形OEPの面積の和で求められる。

点EからABに下ろした垂線の足をHとすると、$EH=AD/2 = 6$。点PからEHに下ろした垂線の足をP'とすると、$PP' = AP=3-3x$となる。

点EからBCに下ろした垂線の足をIとすると、$EI=AB/2 = 3$。点QからEIに下ろした垂線の足をQ'とすると、$QQ' = BQ=3-3x$となる。

$\triangle OEP$の面積は、底辺を$OE=3$とすると、高さは$PP'=3-3x$。したがって、$\triangle OEP = \frac{1}{2} \times 3 \times (3-3x) = \frac{9}{2}(1-x)$

$\triangle OEQ$の面積は、底辺を$OE=3$とすると、高さは$QQ'=3-3x$。したがって、$\triangle OEQ = \frac{1}{2} \times 3 \times (3-3x) = \frac{9}{2}(1-x)$

$\triangle OPQ$の面積$y$は、

$y = \triangle OEP + \triangle OEQ = \frac{9}{2}(1-x) + \frac{9}{2}(1-x) = 9(1-x) = 9-9x$

3. 最終的な答え

$y = 9-9x$ ($0 < x \leqq 1$)

グラフは、$y$切片が9、傾きが-9の直線であり、$0 < x \leqq 1$ の範囲のみを描画する。

$x=1$のとき、$y=0$ である。