問題7：点 $(-3, 2)$ を通り、直線 $3x - 4y - 6 = 0$ に平行な直線 $l$ と垂直な直線 $l'$ の方程式をそれぞれ求めよ。 問題8(1)：点 $(2, 8)$ と直線 $3x - 2y + 4 = 0$ の距離を求めよ。 問題8(2)：平行な2直線 $5x + 4y = 20$, $5x + 4y = 60$ 間の距離を求めよ。

1. 問題の内容

問題7：点 $(-3, 2)$ を通り、直線 $3x - 4y - 6 = 0$ に平行な直線 $l$ と垂直な直線 $l'$ の方程式をそれぞれ求めよ。

問題8(1)：点 $(2, 8)$ と直線 $3x - 2y + 4 = 0$ の距離を求めよ。

問題8(2)：平行な2直線 $5x + 4y = 20$, $5x + 4y = 60$ 間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

問題7：

まず、与えられた直線 $3x - 4y - 6 = 0$ を $y$ について解きます。

$4y = 3x - 6$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$

この直線の傾きは $\frac{3}{4}$ です。

平行な直線 $l$ の傾きも $\frac{3}{4}$ です。点 $(-3, 2)$ を通る直線の式は、

$y - 2 = \frac{3}{4}(x + 3)$

$y - 2 = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 2$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{17}{4}$

両辺に4をかけて整理すると、$4y = 3x + 17$ より、$3x - 4y + 17 = 0$

垂直な直線 $l'$ の傾きは $-\frac{4}{3}$ です。点 $(-3, 2)$ を通る直線の式は、

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 3)$

$y - 2 = -\frac{4}{3}x - 4$

$y = -\frac{4}{3}x - 2$

両辺に3をかけて整理すると、$3y = -4x - 6$ より、$4x + 3y + 6 = 0$

問題8(1)：

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

点 $(2, 8)$ と直線 $3x - 2y + 4 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|3(2) - 2(8) + 4|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|6 - 16 + 4|}{\sqrt{9 + 4}}$

$d = \frac{|-6|}{\sqrt{13}}$

$d = \frac{6}{\sqrt{13}}$

$d = \frac{6\sqrt{13}}{13}$

問題8(2)：

平行な2直線 $5x + 4y = 20$ と $5x + 4y = 60$ の距離を求める。

まず、一方の直線上の点を見つけます。$5x + 4y = 20$ で $x = 0$ とすると、$4y = 20$, $y = 5$ なので点 $(0, 5)$ があります。

次に、点 $(0, 5)$ と直線 $5x + 4y - 60 = 0$ の距離を求めます。

$d = \frac{|5(0) + 4(5) - 60|}{\sqrt{5^2 + 4^2}}$

$d = \frac{|20 - 60|}{\sqrt{25 + 16}}$

$d = \frac{|-40|}{\sqrt{41}}$

$d = \frac{40}{\sqrt{41}}$

$d = \frac{40\sqrt{41}}{41}$

3. 最終的な答え

問題7：

平行な直線 $l$: $3x - 4y + 17 = 0$

垂直な直線 $l'$: $4x + 3y + 6 = 0$

問題8(1)：

距離: $\frac{6\sqrt{13}}{13}$

問題8(2)：

距離: $\frac{40\sqrt{41}}{41}$