SENSEI AI
About App

## 数学の問題の解答

幾何学正四面体体積ベクトル空間図形
2025/6/29
## 数学の問題の解答
###

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。
(1) △ABCの外接円の半径と、点Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求める。
(2) 四面体OAEDの体積を求める。
(3) cos∠AEDの値と、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求める。
###

2. 解き方の手順

#### (1) △ABCの外接円の半径とOHの長さを求める
* △ABCは正三角形であるから、外接円の半径Rは、正弦定理より、R=32sin⁡60∘=32⋅32=3R = \frac{3}{2\sin{60^\circ}} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}となる。
* 正四面体OABCにおいて、点Hは△ABCの重心と一致する。
AHは△ABCの外接円の半径に等しいので、AH=3AH = \sqrt{3}である。
△OAHは直角三角形であるから、三平方の定理より、OH2=OA2−AH2=32−(3)2=9−3=6OH^2 = OA^2 - AH^2 = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6となる。よって、OH=6OH = \sqrt{6}。
#### (2) 四面体OAEDの体積を求める
* 四面体OABCの体積Vは、V=13⋅(34⋅32)⋅6=924V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2) \cdot \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{2}}{4}。
* 四面体OAEDの体積は、四面体OABCの体積から、四面体EBCDの体積を引くことで求められる。
* 四面体EBCDの体積は、四面体OABCの体積の何倍かを考える。
まず、△OBCの面積を考える。△OBCの面積は34⋅32=934\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}。
次に、△EBCの面積は、OB−OEOB⋅△OBC\frac{OB-OE}{OB} \cdot \triangle OBC となるので、3−3/43⋅△OBC=34⋅△OBC\frac{3 - 3/4}{3} \cdot \triangle OBC= \frac{3}{4} \cdot \triangle OBC となる。
さらに、四面体EBCDの高さは、点Dから平面EBCに下ろした垂線の長さであり、これはOC−ODOC\frac{OC-OD}{OC}倍に縮小されるので、3−13=23\frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}となる。
したがって、四面体EBCDの体積は、34⋅23=12\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}倍となる。
よって、四面体EBCDの体積は、12V=928\frac{1}{2}V = \frac{9\sqrt{2}}{8}となる。
四面体OAEDの体積は、VOAED=V−VEBCD=924−928=928V_{OAED} = V - V_{EBCD} = \frac{9\sqrt{2}}{4} - \frac{9\sqrt{2}}{8} = \frac{9\sqrt{2}}{8}となる。
#### (3) cos∠AEDの値と、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求める
* AE⃗=OE⃗−OA⃗=34OB⃗−OA⃗\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}
* AD⃗=OD⃗−OA⃗=OC⃗−OA⃗\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OA}
* ∣AE⃗∣2=(34OB⃗−OA⃗)2=916∣OB⃗∣2−32OB⃗⋅OA⃗+∣OA⃗∣2=916⋅9−32⋅9⋅12+9=8116−274+9=81−108+14416=11716|\vec{AE}|^2 = (\frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA})^2 = \frac{9}{16}|\vec{OB}|^2 - \frac{3}{2}\vec{OB} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = \frac{9}{16} \cdot 9 - \frac{3}{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} + 9 = \frac{81}{16} - \frac{27}{4} + 9 = \frac{81 - 108 + 144}{16} = \frac{117}{16}
∣AE⃗∣=3134|\vec{AE}| = \frac{3\sqrt{13}}{4}
* ∣AD⃗∣2=(OC⃗−OA⃗)2=∣OC⃗∣2−2OC⃗⋅OA⃗+∣OA⃗∣2=9−2⋅9⋅12+9=9|\vec{AD}|^2 = (\vec{OC} - \vec{OA})^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = 9 - 2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} + 9 = 9
∣AD⃗∣=3|\vec{AD}| = 3
* AE⃗⋅AD⃗=(34OB⃗−OA⃗)⋅(OC⃗−OA⃗)=34OB⃗⋅OC⃗−34OB⃗⋅OA⃗−OA⃗⋅OC⃗+∣OA⃗∣2=34⋅9⋅12−34⋅9⋅12−9⋅12+9=−92+9=92\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (\frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OA}) = \frac{3}{4}\vec{OB} \cdot \vec{OC} - \frac{3}{4}\vec{OB} \cdot \vec{OA} - \vec{OA} \cdot \vec{OC} + |\vec{OA}|^2 = \frac{3}{4} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{1}{2} + 9 = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}
* cos⁡∠AED=AE⃗⋅AD⃗∣AE⃗∣∣AD⃗∣=9/2(313/4)⋅3=9/2913/4=213=21313\cos{\angle AED} = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}||\vec{AD}|} = \frac{9/2}{(3\sqrt{13}/4) \cdot 3} = \frac{9/2}{9\sqrt{13}/4} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}
* 点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さをhとする。
四面体OAEDの体積VOAED=928V_{OAED} = \frac{9\sqrt{2}}{8}。
△AEDの面積Sを計算する。
S=12∣AE⃗∣∣AD⃗∣sin⁡∠AED=12∣AE⃗∣∣AD⃗∣1−cos⁡2∠AED=12⋅3134⋅3⋅1−(213)2=9138⋅1−413=9138⋅913=9138⋅313=278S = \frac{1}{2}|\vec{AE}||\vec{AD}|\sin{\angle AED} = \frac{1}{2}|\vec{AE}||\vec{AD}|\sqrt{1 - \cos^2{\angle AED}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot 3 \cdot \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{13}})^2} = \frac{9\sqrt{13}}{8} \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{13}} = \frac{9\sqrt{13}}{8} \cdot \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{9\sqrt{13}}{8} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{27}{8}
四面体OAEDの体積は、 VOAED=13⋅S⋅hV_{OAED} = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h であるから、
928=13⋅278⋅h\frac{9\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} \cdot h
h=928⋅3⋅827=2h = \frac{9\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{3 \cdot 8}{27} = \sqrt{2}
###

3. 最終的な答え

(1) △ABCの外接円の半径：3\sqrt{3}、OHの長さ：6\sqrt{6}
(2) 四面体OAEDの体積：928\frac{9\sqrt{2}}{8}
(3) cos∠AEDの値：21313\frac{2\sqrt{13}}{13}、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さ：2\sqrt{2}

「幾何学」の関連問題

円 $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ 上の点 $(1, 4)$ における接線の方程式を求める問題です。

円接線方程式
2025/6/30

問題7：点 $(-3, 2)$ を通り、直線 $3x - 4y - 6 = 0$ に平行な直線 $l$ と垂直な直線 $l'$ の方程式をそれぞれ求めよ。 問題8(1)：点 $(2, 8)$ と直線 ...

直線方程式距離平行垂直
2025/6/30

円 $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ 上の点 $(1, 4)$ における接線の方程式を求める。

円接線方程式
2025/6/30

2点 A(1, 1) と B(4, -2) から等距離にある直線 $y = 3x - 1$ 上の点の座標を求めます。

座標距離直線方程式代入
2025/6/30

## 問題の回答

座標平面点対称中点距離
2025/6/30

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=1, BC=2, CD=3, DA=4であるとき、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

円四角形面積ブラーマグプタの公式
2025/6/29

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DA=4$ であるとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

円四角形内接面積ブラーマグプタの公式
2025/6/29

直角三角形が与えられており、角 $\theta$ に対する $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める問題です。

三角比三角関数直角三角形角度
2025/6/29

長方形ABCDにおいて、$AB=6$, $AD=12$ である。点Pは辺ABの中点Mを出発し、毎秒3の速さで周上をAを経てDに向かう。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さで周上をBを経て辺BCの...

図形面積長方形三角形座標
2025/6/29

問題は全部で5問あり、三角比に関するものです。 * 問題1：直角三角形における $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求めます。 * 問...

三角比三角関数直角三角形単位円角度
2025/6/29