問題10では、与えられた方程式がどのような図形を表すかを答えます。 (1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$ (2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$ 問題11では、3点A(0, 5), B(2, 1), C(-4, 1)を頂点とする三角形ABCの外接円の半径と外心の座標を求めます。

1. 問題の内容

問題10では、与えられた方程式がどのような図形を表すかを答えます。

(1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$

(2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$

問題11では、3点A(0, 5), B(2, 1), C(-4, 1)を頂点とする三角形ABCの外接円の半径と外心の座標を求めます。

2. 解き方の手順

問題10

(1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$ を変形します。

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) + 5 = 0$

平方完成を行うと

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 5 - 1 - 9 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$

これは中心(1, 3), 半径$\sqrt{5}$の円を表します。

(2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$ を変形します。

$x^2 + (y^2 + 4y) = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0$

$x^2 + (y + 2)^2 = 4$

これは中心(0, -2), 半径2の円を表します。

問題11

三角形ABCの外接円の中心を(x, y)とします。

外接円の中心は3つの頂点からの距離が等しいので、以下の式が成り立ちます。

$OA^2 = OB^2 = OC^2$

$OA^2 = (x-0)^2 + (y-5)^2 = x^2 + (y-5)^2$

$OB^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2$

$OC^2 = (x+4)^2 + (y-1)^2$

$OA^2 = OB^2$より

$x^2 + (y-5)^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2$

$x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$

$-10y + 25 = -4x - 2y + 5$

$4x - 8y = -20$

$x - 2y = -5$ (1)

$OB^2 = OC^2$より

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = (x+4)^2 + (y-1)^2$

$(x-2)^2 = (x+4)^2$

$x^2 - 4x + 4 = x^2 + 8x + 16$

$-4x + 4 = 8x + 16$

$-12x = 12$

$x = -1$

(1)に代入して

$-1 - 2y = -5$

$-2y = -4$

$y = 2$

外心の座標は(-1, 2)です。

外接円の半径Rは

$R = OA = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

問題10

(1) 中心(1, 3), 半径$\sqrt{5}$の円

(2) 中心(0, -2), 半径2の円

問題11

外心の座標: (-1, 2)

外接円の半径: $\sqrt{10}$