座標平面上に点A(0, 5)を中心とし、$x$軸に接する円Kがある。直線$l: y = 7x + 5k$と円Kは異なる2点B, Cで交わっている。ここで、$k$は定数である。 (1) 円Kの方程式を求めよ。 (2) $k$の値の範囲を求めよ。 (3) $k > 0$とする。2点B, Cにおいてそれぞれ円Kの接線を引き、この2本の接線の交点をDとする。四角形ABDCが正方形となるとき、$k$の値を求めよ。また、このとき、点Dの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に点A(0, 5)を中心とし、$x$軸に接する円Kがある。直線$l: y = 7x + 5k$と円Kは異なる2点B, Cで交わっている。ここで、$k$は定数である。

(1) 円Kの方程式を求めよ。

(2) $k$の値の範囲を求めよ。

(3) $k > 0$とする。2点B, Cにおいてそれぞれ円Kの接線を引き、この2本の接線の交点をDとする。四角形ABDCが正方形となるとき、$k$の値を求めよ。また、このとき、点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Kの方程式を求める。

円Kの中心がA(0, 5)で、$x$軸に接するので、半径は5である。

したがって、円Kの方程式は

$x^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

$x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) $k$の値の範囲を求める。

直線$l: y = 7x + 5k$と円Kが異なる2点で交わる条件は、点A(0, 5)と直線$l: 7x - y + 5k = 0$との距離が半径5より小さいことである。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|7(0) - 5 + 5k|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} < 5$

$\frac{|5k - 5|}{\sqrt{50}} < 5$

$|5k - 5| < 5\sqrt{50}$

$|5k - 5| < 25\sqrt{2}$

$-25\sqrt{2} < 5k - 5 < 25\sqrt{2}$

$-25\sqrt{2} + 5 < 5k < 25\sqrt{2} + 5$

$-5\sqrt{2} + 1 < k < 5\sqrt{2} + 1$

(3) 四角形ABDCが正方形となる条件から$k$の値を求める。

ABDCが正方形なので、$\angle BAC = 90^\circ$となる。円の中心Aから弦BCに下ろした垂線は、弦BCの中点を通る。BCの中点をMとすると、$\angle BAM = 45^\circ$となる。AMは、直線$y = 7x + 5k$と原点からの距離である。

点A(0, 5)と直線$y = 7x + 5k$、すなわち$7x - y + 5k = 0$との距離が $5/\sqrt{2}$となる。

$\frac{|7(0) - 5 + 5k|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$\frac{|5k - 5|}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$\frac{|5k - 5|}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$|5k - 5| = 25$

$5k - 5 = 25$ or $5k - 5 = -25$

$5k = 30$ or $5k = -20$

$k = 6$ or $k = -4$

$k > 0$より、$k = 6$。

点DはAからx軸方向に-5, y軸方向に0移動した点なので、Dの座標は(-5,0)

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) $-5\sqrt{2} + 1 < k < 5\sqrt{2} + 1$

(3) $k = 6$, 点Dの座標は(-5, 5)

(点Dのy座標は円の中心のy座標と同じはずなので、計算ミス。)

点A(0, 5)から直線BCまでの距離AM = $5 / \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

線分ADは、線分AMを$45^\circ$回転した方向にあるため、AD = AM = $5/\sqrt{2}$である。

Dの座標を(x, y)とすると、ADの中点はA(0, 5)であるから

$\sqrt{x^2 + (y-5)^2} = AD = 5/\sqrt{2}$

ABDCが正方形なので、直線ADは直線AMと直交する。

ADの傾きは、直線BCの傾き-7に直交するので、1/7

ADの式は、$y = \frac{1}{7}x + 5$

$x^2 + (\frac{1}{7}x + 5 - 5)^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2$

$x^2 + \frac{1}{49}x^2 = \frac{50}{4}$

$\frac{50}{49}x^2 = \frac{25}{2}$

$x^2 = \frac{49}{4}$

$x = \pm \frac{7}{2}$

$y = \frac{1}{7}(\pm \frac{7}{2}) + 5 = \pm \frac{1}{2} + 5$

Dは左にあるので、xは負、yは5+1/2 = 11/2 = 5.5

よって、D = (-7/2, 11/2)

直線 l: y = 7x + 5kは、x = 0のとき、y = 5kであり、直線lと円が異なる2点で交わるためには、直線lと円の中心(0,5)との距離が5より小さいことが必要である。

$y = 7x + 5k$、すなわち、$7x - y + 5k = 0$と点(0,5)の距離は

$\frac{|7 \cdot 0 - 5 + 5k|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} < 5$

$|5k - 5| < 5\sqrt{50}$

$|5k - 5| < 25\sqrt{2}$

$-25\sqrt{2} < 5k - 5 < 25\sqrt{2}$

$-25\sqrt{2} + 5 < 5k < 25\sqrt{2} + 5$

$-5\sqrt{2} + 1 < k < 5\sqrt{2} + 1$

ABDCが正方形であるとき、点A(0,5)から直線lまでの距離は、5/$\sqrt{2}$である。

$\frac{|7 \cdot 0 - 5 + 5k|}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$|5k - 5| = \frac{5\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 25$

$5k - 5 = \pm 25$

$5k = 30, -20$

$k = 6, -4$

$k>0$より、$k=6$

円の中心A(0,5)から弦BCの中点までの距離をAMとする。AM = 5/$\sqrt{2}$

点Dの座標を(x,y)とすると、線分ADはAMと直交し、AD = AM

ADの傾きは、1/7

y = 1/7 * x + 5

DとAの距離は$5\sqrt{2}/2$なので、$\sqrt{x^2 + (y-5)^2} = 5\sqrt{2}/2$

$\sqrt{x^2 + (1/7 * x)^2} = 5\sqrt{2}/2$

$\sqrt{x^2 + x^2/49} = 5\sqrt{2}/2$

$x^2 + x^2/49 = 50/4 = 25/2$

$50x^2/49 = 25/2$

$x^2 = (25/2) * (49/50) = 49/4$

$x = \pm 7/2$

点Dのx座標は負なので、$x = -7/2$

$y = 1/7 * (-7/2) + 5 = -1/2 + 5 = 9/2$

点Dの座標は、(-7/2, 9/2)

(1) $x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) $1-5\sqrt{2} < k < 1+5\sqrt{2}$

(3) $k=6$, Dの座標は (-7/2, 9/2)