正六面体の各辺の中点を通る平面で8個の角を切り取った多面体について、面の数、頂点の数、辺の数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

正六面体の各辺の中点を通る平面で8個の角を切り取った多面体について、面の数、頂点の数、辺の数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 元の正六面体の情報

- 面の数：6

- 頂点の数：8

- 辺の数：12

(2) 角を切り取ったことによる変化

- 8個の頂点が切り取られる。

- 各頂点を切り取ると、新しい三角形の面が1つできる。したがって、新しい面が8個増える。

- 各頂点を切り取ると、元の頂点が3つの新しい頂点になる。したがって、頂点の数は $8 \times 3 = 24$ 増える。ただし、元の頂点(8個)はなくなるので、増えた頂点の数は24個である。

- 各頂点を切り取ると、元の頂点に繋がっていた3本の辺がそれぞれ新しい辺に置き換わり、各三角形の面に3本の新しい辺ができる。したがって、新しい辺が $8 \times 3 = 24$ 本増える。

(3) 切り取られた多面体の情報

- 面の数：$6 + 8 = 14$

- 頂点の数：24

- 辺の数：$12 + 24 = 36$

(4) オイラーの多面体公式の確認

オイラーの多面体公式は、$V - E + F = 2$ (V: 頂点の数、E: 辺の数、F: 面の数)で表される。

この多面体の場合、$24 - 36 + 14 = 2$となり、オイラーの多面体公式が成り立つ。

3. 最終的な答え

- 面の数：14

- 頂点の数：24

- 辺の数：36