原点Oを中心とする半径1の円周上に3点A, B, Cがある。$\angle AOB = \theta$, $\angle BOC = \frac{\pi}{2}$である。ただし、Aの座標は(1, 0)で、Bは第2象限、Cは第3象限の点である。 (1) $\triangle ABC$の面積Sを$\theta$で表せ。 (2) Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径1の円周上に3点A, B, Cがある。$\angle AOB = \theta$, $\angle BOC = \frac{\pi}{2}$である。ただし、Aの座標は(1, 0)で、Bは第2象限、Cは第3象限の点である。

(1) $\triangle ABC$の面積Sを$\theta$で表せ。

(2) Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積Sを$\theta$で表す。

A(1, 0), B(cos$\theta$, sin$\theta$), C(cos($\theta+\frac{\pi}{2}$), sin($\theta+\frac{\pi}{2}$)) = (-sin$\theta$, cos$\theta$)

$\triangle ABC$の面積Sは、ベクトルを用いて

$S = \frac{1}{2} |(x_B-x_A)(y_C-y_A) - (x_C-x_A)(y_B-y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(cos\theta-1)(cos\theta-0) - (-sin\theta-1)(sin\theta-0)|$

$S = \frac{1}{2} |cos^2\theta - cos\theta + sin^2\theta + sin\theta|$

$S = \frac{1}{2} |1 - cos\theta + sin\theta|$

$\theta$は第2象限の角なので、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$。したがって、$1 - cos\theta + sin\theta > 0$。

$S = \frac{1}{2} (1 - cos\theta + sin\theta)$

(2) Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求める。

$S = \frac{1}{2} (1 - cos\theta + sin\theta) = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{2} sin(\theta - \frac{\pi}{4}))$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$なので、$\frac{\pi}{4} < \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$のとき、$sin(\theta - \frac{\pi}{4})$は最大値1をとる。

$\theta = \frac{3\pi}{4}$

Sの最大値は、

$S = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{2} \times 1) = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{1}{2} (1 - cos\theta + sin\theta)$

(2) Sの最大値: $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$, $\theta = \frac{3\pi}{4}$