点 $A(3, -1)$ を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と、平行な直線のそれぞれの方程式を求めます。

1. 問題の内容

点 $A(3, -1)$ を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と、平行な直線のそれぞれの方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた直線の傾きを求める：

与えられた直線の方程式は $3x + 2y + 1 = 0$ です。これを $y = mx + c$ の形に変形します。

$2y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

したがって、与えられた直線の傾きは $m_1 = -\frac{3}{2}$ です。

(2) 与えられた直線に垂直な直線の傾きを求める：

2つの直線が垂直であるとき、それらの傾きの積は $-1$ です。求める垂直な直線の傾きを $m_2$ とすると、

$m_1 \cdot m_2 = -1$

$-\frac{3}{2} \cdot m_2 = -1$

$m_2 = \frac{2}{3}$

(3) 点 $A(3, -1)$ を通り、傾きが $m_2 = \frac{2}{3}$ の直線の方程式を求める：

点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いると、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

両辺を3倍して整理すると、

$3y = 2x - 9$

$2x - 3y - 9 = 0$

(4) 与えられた直線に平行な直線の傾きを求める：

平行な直線は傾きが等しいので、平行な直線の傾きは $m_1 = -\frac{3}{2}$ です。

(5) 点 $A(3, -1)$ を通り、傾きが $m_1 = -\frac{3}{2}$ の直線の方程式を求める：

点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いると、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

両辺を2倍して整理すると、

$2y = -3x + 7$

$3x + 2y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

与えられた直線に垂直な直線の方程式は $2x - 3y - 9 = 0$ です。

与えられた直線に平行な直線の方程式は $3x + 2y - 7 = 0$ です。