右の図のような道があるとき、A地点からP地点を経由してB地点まで、遠回りをしないで行く道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

右の図のような道があるとき、A地点からP地点を経由してB地点まで、遠回りをしないで行く道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、A地点からP地点までの最短経路の数を求めます。AからPへは、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、経路の数は、3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは、二項係数で計算できます。

$A$から$P$への経路の数は ${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$通りです。

次に、P地点からB地点までの最短経路の数を求めます。PからBへは、右に1回、下に1回移動する必要があります。したがって、経路の数は、2回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。これは、二項係数で計算できます。

$P$から$B$への経路の数は ${}_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = \frac{2 \times 1}{(1)(1)} = 2$通りです。

A地点からP地点を経由してB地点まで行く経路の総数は、AからPへの経路の数とPからBへの経路の数を掛け合わせたものになります。

$3 \times 2 = 6$通りです。

3. 最終的な答え

6通り