加法定理を用いて、$\tan(-75^\circ)$ の値を求める。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\tan(-75^\circ)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$-75^\circ$を $-45^\circ$ と $-30^\circ$ の和として表します。

$$\tan(-75^\circ) = \tan(-45^\circ - 30^\circ)$$

次に、タンジェントの加法定理を適用します。タンジェントの加法定理は以下の通りです。

$$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$$

この式に $A = -45^\circ$、$B = 30^\circ$ を代入します。

$$\tan(-75^\circ) = \frac{\tan(-45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(-45^\circ) \tan(30^\circ)}$$

$\tan(-45^\circ) = -1$ であり、$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、

$$\tan(-75^\circ) = \frac{-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$$

分子と分母に $\sqrt{3}$ を掛けて、

$$\tan(-75^\circ) = \frac{-\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}$$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3} + 1$ を掛けます。

$$\tan(-75^\circ) = \frac{(-\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{-3 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{-4 - 2\sqrt{3}}{2} = -2 - \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$\tan(-75^\circ) = -2 - \sqrt{3}$