与えられた数学の問題は、以下の4つの問題で構成されています。 * **1**: 2点間の距離を求める問題 * **2**: 3点が与えられたとき、線分の内分点、外分点、および三角形の重心の座標を求める問題 * **3**: 直線の方程式を求める問題 * **4**: 与えられた直線と他の直線の関係（平行、垂直、平行でも垂直でもない）を判断し、交点があればその座標を求める問題

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の4つの問題で構成されています。

* **1**: 2点間の距離を求める問題

* **2**: 3点が与えられたとき、線分の内分点、外分点、および三角形の重心の座標を求める問題

* **3**: 直線の方程式を求める問題

* **4**: 与えられた直線と他の直線の関係（平行、垂直、平行でも垂直でもない）を判断し、交点があればその座標を求める問題

2. 解き方の手順

* **1**: 2点間の距離を求める。

* (1) A(3, 5), B(4, 8) の距離は、$\sqrt{(4-3)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

* (2) A(-2, 5), B(-4, 0) の距離は、$\sqrt{(-4-(-2))^2 + (0-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

* **2**: 3点 A(2, -4), B(-8, -9), C(-6, 7) について、次の点の座標を求める。

* (1) 線分ABを3:4に内分する点Pの座標は、

$P = \left( \frac{4(2) + 3(-8)}{3+4}, \frac{4(-4) + 3(-9)}{3+4} \right) = \left( \frac{8-24}{7}, \frac{-16-27}{7} \right) = \left( -\frac{16}{7}, -\frac{43}{7} \right)$

* (2) 線分ABを1:2に外分する点Qの座標は、

$Q = \left( \frac{-2(2) + 1(-8)}{1-2}, \frac{-2(-4) + 1(-9)}{1-2} \right) = \left( \frac{-4-8}{-1}, \frac{8-9}{-1} \right) = \left( 12, 1 \right)$

* (3) △ABCの重心Gの座標は、

$G = \left( \frac{2 + (-8) + (-6)}{3}, \frac{-4 + (-9) + 7}{3} \right) = \left( \frac{-12}{3}, \frac{-6}{3} \right) = \left( -4, -2 \right)$

* **3**: 次の直線の方程式を求める。

* (1) 点(5, -7)を通り、傾きが-5の直線の方程式は、$y - (-7) = -5(x - 5)$ より、$y + 7 = -5x + 25$。よって、$y = -5x + 18$

* (2) 2点(5, 6), (3, -4)を通る直線の方程式は、傾きが $\frac{-4-6}{3-5} = \frac{-10}{-2} = 5$。点(5, 6)を通るから、$y - 6 = 5(x - 5)$ より、$y - 6 = 5x - 25$。よって、$y = 5x - 19$

* (3) 2点(3, 0), (0, 2)を通る直線の方程式は、傾きが $\frac{2-0}{0-3} = -\frac{2}{3}$。点(3, 0)を通るから、$y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 3)$ より、$y = -\frac{2}{3}x + 2$。あるいは、$2x + 3y - 6 = 0$

* **4**: 直線 $5x - y - 4 = 0$ と次の直線の関係を判断し、交点があればその座標を求める。

* (1) $x + 5y - 10 = 0$

$5x - y - 4 = 0$ より $y = 5x - 4$。これを $x + 5y - 10 = 0$ に代入すると、$x + 5(5x - 4) - 10 = 0$。$x + 25x - 20 - 10 = 0$ より、$26x = 30$、$x = \frac{15}{13}$。$y = 5(\frac{15}{13}) - 4 = \frac{75}{13} - \frac{52}{13} = \frac{23}{13}$。よって、交点は $(\frac{15}{13}, \frac{23}{13})$。2直線の傾きはそれぞれ5と$-\frac{1}{5}$なので垂直である。

* (2) $5x - y + 2 = 0$

$5x - y - 4 = 0$ と $5x - y + 2 = 0$ の傾きは等しいので、平行。

* (3) $x - 5y + 7 = 0$

$5x - y - 4 = 0$ より $y = 5x - 4$。これを $x - 5y + 7 = 0$ に代入すると、$x - 5(5x - 4) + 7 = 0$。$x - 25x + 20 + 7 = 0$ より、$-24x = -27$、$x = \frac{9}{8}$。$y = 5(\frac{9}{8}) - 4 = \frac{45}{8} - \frac{32}{8} = \frac{13}{8}$。よって、交点は $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$。2直線の傾きはそれぞれ5と$\frac{1}{5}$なので、平行でも垂直でもない。

3. 最終的な答え

* **1**:

* (1) $\sqrt{10}$

* (2) $\sqrt{29}$

* **2**:

* (1) $\left(-\frac{16}{7}, -\frac{43}{7}\right)$

* (2) $(12, 1)$

* (3) $(-4, -2)$

* **3**:

* (1) $y = -5x + 18$

* (2) $y = 5x - 19$

* (3) $y = -\frac{2}{3}x + 2$　または　$2x + 3y - 6 = 0$

* **4**:

* (1) 垂直、交点 $(\frac{15}{13}, \frac{23}{13})$

* (2) 平行

* (3) 平行でも垂直でもない、交点 $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$