$\triangle ABC$ と点 $P$ に対して、$\vec{AP} + \vec{BP} + \vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとき、点 $P$ の位置を特定する。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ と点 $P$ に対して、$\vec{AP} + \vec{BP} + \vec{CP} = \vec{0}$ が成り立つとき、点 $P$ の位置を特定する。

2. 解き方の手順

任意の点 $O$ を始点として、与えられた式を変形する。

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$

$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB}$

$\vec{CP} = \vec{OP} - \vec{OC}$

これらを与えられた式に代入すると、

$(\vec{OP} - \vec{OA}) + (\vec{OP} - \vec{OB}) + (\vec{OP} - \vec{OC}) = \vec{0}$

$3\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

これは、点 $P$ が $\triangle ABC$ の重心であることを意味する。

3. 最終的な答え

点 $P$ は $\triangle ABC$ の重心である。