長さ40cmの線分AB上に、2つの円が重ならないように置かれています。それぞれの円の直径は線分AB上にあります。2つの円の面積の合計が最小になるときの面積を求めます。円周率は $\pi$ とします。

1. 問題の内容

長さ40cmの線分AB上に、2つの円が重ならないように置かれています。それぞれの円の直径は線分AB上にあります。2つの円の面積の合計が最小になるときの面積を求めます。円周率は $\pi$ とします。

2. 解き方の手順

2つの円の半径をそれぞれ $r_1$, $r_2$ とします。

2つの円の直径の和は40cmなので、

$2r_1 + 2r_2 = 40$

$r_1 + r_2 = 20$

したがって、$r_2 = 20 - r_1$　となります。

2つの円の面積の合計 $S$ は、

$S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi r_1^2 + \pi (20-r_1)^2$

$S = \pi r_1^2 + \pi (400 - 40r_1 + r_1^2) = \pi (2r_1^2 - 40r_1 + 400)$

面積 $S$ が最小になるのは、 $r_1$ がいくつの時かを調べます。

$2r_1^2 - 40r_1 + 400 = 2(r_1^2 - 20r_1) + 400 = 2(r_1^2 - 20r_1 + 100 - 100) + 400 = 2((r_1-10)^2 - 100) + 400 = 2(r_1 - 10)^2 - 200 + 400 = 2(r_1 - 10)^2 + 200$

この式より、$r_1 = 10$ のとき、$S$ は最小になります。

$r_1 = 10$ のとき、$r_2 = 20 - r_1 = 20 - 10 = 10$ となります。

したがって、2つの円の面積が最小になるとき、2つの円の半径はともに10cmとなります。

このときの面積 $S$ は、

$S = \pi (10^2) + \pi (10^2) = 100\pi + 100\pi = 200\pi$

3. 最終的な答え

$200\pi \text{ cm}^2$