問題は以下の通りです。 1. 2点間の距離を求める問題。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 2点間の距離を求める問題。

2. 3点を与えられたときに、線分の内分点、外分点、三角形の重心の座標を求める問題。

3. 直線の方程式を求める問題。

4. 与えられた直線と他の直線の関係（平行、垂直、平行でも垂直でもない）を判断し、交点があればその座標を求める問題。

2. 解き方の手順

1. (1) A(3, 5), B(4, 8)の距離を求める。

2点間の距離の公式は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

距離 = $\sqrt{(4-3)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$

(2) A(-2, 5), B(-4, 0)の距離を求める。

距離 = $\sqrt{(-4-(-2))^2 + (0-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$

2. (1) A(2, -4), B(-8, -9)を3:4に内分する点Pの座標を求める。

内分点の公式は $P(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n})$。

$P(\frac{3(-8) + 4(2)}{3+4}, \frac{3(-9) + 4(-4)}{3+4}) = P(\frac{-24+8}{7}, \frac{-27-16}{7}) = P(\frac{-16}{7}, \frac{-43}{7})$

(2) A(2, -4), B(-8, -9)を1:2に外分する点Qの座標を求める。

外分点の公式は $Q(\frac{m x_2 - n x_1}{m-n}, \frac{m y_2 - n y_1}{m-n})$。

$Q(\frac{1(-8) - 2(2)}{1-2}, \frac{1(-9) - 2(-4)}{1-2}) = Q(\frac{-8-4}{-1}, \frac{-9+8}{-1}) = Q(\frac{-12}{-1}, \frac{-1}{-1}) = Q(12, 1)$

(3) A(2, -4), B(-8, -9), C(-6, 7)の重心Gの座標を求める。

重心の公式は $G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$。

$G(\frac{2-8-6}{3}, \frac{-4-9+7}{3}) = G(\frac{-12}{3}, \frac{-6}{3}) = G(-4, -2)$

3. (1) 点(5, -7)を通り、傾きが-5の直線の方程式を求める。

$y - y_1 = m(x - x_1)$の公式を使う。

$y - (-7) = -5(x - 5)$

$y + 7 = -5x + 25$

$y = -5x + 18$

$5x + y - 18 = 0$

(2) 2点(5, 6), (3, -4)を通る直線の方程式を求める。

傾き $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4-6}{3-5} = \frac{-10}{-2} = 5$

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 6 = 5(x - 5)$

$y - 6 = 5x - 25$

$y = 5x - 19$

$5x - y - 19 = 0$

(3) 2点(3, 0), (0, 2)を通る直線の方程式を求める。

傾き $m = \frac{2-0}{0-3} = -\frac{2}{3}$

$y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 3)$

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

$3y = -2x + 6$

$2x + 3y - 6 = 0$

4. 直線 $5x - y - 4 = 0$ と以下の直線の関係を調べる。

(1) $x + 5y - 10 = 0$

傾き $m_1 = 5$, $m_2 = -\frac{1}{5}$

$m_1 m_2 = 5 (-\frac{1}{5}) = -1$ なので、垂直。

交点を求める:

$5x - y - 4 = 0$

$x + 5y - 10 = 0$

$25x - 5y - 20 = 0$

$x + 5y - 10 = 0$

$26x - 30 = 0$

$x = \frac{30}{26} = \frac{15}{13}$

$y = 5x - 4 = 5(\frac{15}{13}) - 4 = \frac{75}{13} - \frac{52}{13} = \frac{23}{13}$

交点は $(\frac{15}{13}, \frac{23}{13})$

(2) $5x - y + 2 = 0$

傾きが同じなので平行。

$5x - y = 4$

$5x - y = -2$

平行なので交点はない。

(3) $x - 5y + 7 = 0$

傾き $m_1 = 5$, $m_2 = \frac{1}{5}$

平行でも垂直でもない。

交点を求める:

$5x - y - 4 = 0$

$x - 5y + 7 = 0$

$25x - 5y - 20 = 0$

$x - 5y + 7 = 0$

$24x - 27 = 0$

$x = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

$y = 5x - 4 = 5(\frac{9}{8}) - 4 = \frac{45}{8} - \frac{32}{8} = \frac{13}{8}$

交点は $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$

3. 最終的な答え

1. (1) $\sqrt{10}$ (2) $\sqrt{29}$

2. (1) $P(-\frac{16}{7}, -\frac{43}{7})$ (2) $Q(12, 1)$ (3) $G(-4, -2)$

3. (1) $5x + y - 18 = 0$ (2) $5x - y - 19 = 0$ (3) $2x + 3y - 6 = 0$

4. (1) 垂直、交点 $(\frac{15}{13}, \frac{23}{13})$ (2) 平行、交点なし (3) 平行でも垂直でもない、交点 $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$