点 $(-1, -3)$ と直線 $y = \frac{1}{2}x + 1$ の距離を求める。

## 問題 5

1. 問題の内容

点 $(-1, -3)$ と直線 $y = \frac{1}{2}x + 1$ の距離を求める。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を用いる。

まず、直線の方程式を一般形 $ax + by + c = 0$ の形に変形する。

$y = \frac{1}{2}x + 1$ より、$x - 2y + 2 = 0$ となる。したがって、$a=1$, $b=-2$, $c=2$ である。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で計算される。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の問題では、$(x_0, y_0) = (-1, -3)$ なので、

$d = \frac{|1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-3) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|-1 + 6 + 2|}{\sqrt{1 + 4}}$

$d = \frac{|7|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{7}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ をかける。

$d = \frac{7\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{5}}{5}$