点A(-3, 5)に関して、以下の直線について対称な点の座標を求めます。 (1) 直線 $y = x$ (2) 直線 $3x - 2y + 12 = 0$

1. 問題の内容

点A(-3, 5)に関して、以下の直線について対称な点の座標を求めます。

(1) 直線 $y = x$

(2) 直線 $3x - 2y + 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y=x$ について対称な点の座標

直線 $y=x$ に関して点A(-3, 5)と対称な点をP(x, y)とすると、点Aと点Pを結ぶ線分の中点は直線 $y=x$ 上にあり、線分APは直線 $y=x$ に垂直である。

中点の座標は $(\frac{x-3}{2}, \frac{y+5}{2})$であり、これが直線 $y=x$ 上にあるので、

$\frac{y+5}{2} = \frac{x-3}{2}$

$y+5 = x-3$

$x - y = 8$ --- (1)

線分APの傾きは $\frac{y-5}{x+3}$であり、直線 $y=x$ の傾きは1なので、線分APは直線 $y=x$ に垂直であることから、

$\frac{y-5}{x+3} \cdot 1 = -1$

$y-5 = -x-3$

$x + y = 2$ --- (2)

(1)+(2)より、

$2x = 10$

$x = 5$

(2)に代入して、

$5 + y = 2$

$y = -3$

よって、点Pの座標は (5, -3)

(2) 直線 $3x - 2y + 12 = 0$ について対称な点の座標

直線 $3x - 2y + 12 = 0$ に関して点A(-3, 5)と対称な点をP(x, y)とすると、点Aと点Pを結ぶ線分の中点は直線 $3x - 2y + 12 = 0$ 上にあり、線分APは直線 $3x - 2y + 12 = 0$ に垂直である。

中点の座標は $(\frac{x-3}{2}, \frac{y+5}{2})$であり、これが直線 $3x - 2y + 12 = 0$ 上にあるので、

$3(\frac{x-3}{2}) - 2(\frac{y+5}{2}) + 12 = 0$

$3(x-3) - 2(y+5) + 24 = 0$

$3x - 9 - 2y - 10 + 24 = 0$

$3x - 2y + 5 = 0$ --- (3)

線分APの傾きは $\frac{y-5}{x+3}$であり、直線 $3x - 2y + 12 = 0$ すなわち $y = \frac{3}{2}x + 6$ の傾きは$\frac{3}{2}$なので、線分APは直線 $3x - 2y + 12 = 0$ に垂直であることから、

$\frac{y-5}{x+3} \cdot \frac{3}{2} = -1$

$3(y-5) = -2(x+3)$

$3y - 15 = -2x - 6$

$2x + 3y - 9 = 0$ --- (4)

(3)x2 - (4)x3より、

$(6x - 4y + 10) - (6x + 9y - 27) = 0$

$-13y + 37 = 0$

$y = \frac{37}{13}$

(4)に代入して、

$2x + 3(\frac{37}{13}) - 9 = 0$

$2x + \frac{111}{13} - \frac{117}{13} = 0$

$2x - \frac{6}{13} = 0$

$2x = \frac{6}{13}$

$x = \frac{3}{13}$

よって、点Pの座標は $(\frac{3}{13}, \frac{37}{13})$

3. 最終的な答え

(1) (5, -3)

(2) $(\frac{3}{13}, \frac{37}{13})$