問題は、ベクトルの知識を利用して、以下の2つの円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が $C(2, 3)$ で、点 $A(5, 7)$ を通る円の方程式を求める。 (2) 2点 $A(1, 4)$ と $B(3, 0)$ を直径の両端とする円の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は、ベクトルの知識を利用して、以下の2つの円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が $C(2, 3)$ で、点 $A(5, 7)$ を通る円の方程式を求める。

(2) 2点 $A(1, 4)$ と $B(3, 0)$ を直径の両端とする円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 中心が $C(2, 3)$ で、点 $A(5, 7)$ を通る円の場合：

* 円の半径 $r$ は、中心 $C$ と円周上の点 $A$ の距離に等しいので、$r = CA$を計算します。

$r = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

* 円の方程式は、中心 $(a, b)$、半径 $r$ のとき、$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表されるので、これに $C(2, 3)$と $r=5$ を代入します。

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

(2) 2点 $A(1, 4)$ と $B(3, 0)$ を直径の両端とする円の場合：

* 円の中心は、線分 $AB$ の中点です。中点の座標は、$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ で求められます。

中心 $C$ の座標は、 $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right) = (2, 2)$

* 円の半径 $r$ は、中心 $C$ と点 $A$ (または $B$) の距離に等しいので、$r = CA$を計算します。

$r = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

* 円の方程式は、中心 $(a, b)$、半径 $r$ のとき、$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表されるので、これに $C(2, 2)$と $r=\sqrt{5}$ を代入します。

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

(2) $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5$