与えられた2つの三角関数の等式を証明します。 (1) $\frac{1}{1 + \cos\theta} + \frac{1}{1 - \cos\theta} = \frac{2}{\sin^2\theta}$ (2) $\frac{1}{\tan\theta} - \tan\theta = \frac{2\cos2\theta}{\sin2\theta}$

1. 問題の内容

与えられた2つの三角関数の等式を証明します。

(1) $\frac{1}{1 + \cos\theta} + \frac{1}{1 - \cos\theta} = \frac{2}{\sin^2\theta}$

(2) $\frac{1}{\tan\theta} - \tan\theta = \frac{2\cos2\theta}{\sin2\theta}$

2. 解き方の手順

(1) 左辺を変形して右辺になることを示す。

左辺の分母を払って計算します。

$\frac{1}{1 + \cos\theta} + \frac{1}{1 - \cos\theta} = \frac{(1 - \cos\theta) + (1 + \cos\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)}$

$= \frac{2}{1 - \cos^2\theta}$

三角関数の相互関係より、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$

したがって、$\frac{2}{1 - \cos^2\theta} = \frac{2}{\sin^2\theta}$

よって、等式は証明された。

(2) 左辺を変形して右辺になることを示す。

$\frac{1}{\tan\theta} - \tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$= \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

倍角の公式より、$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$、$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

したがって、$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos2\theta}{\frac{1}{2}\sin2\theta} = \frac{2\cos2\theta}{\sin2\theta}$

よって、等式は証明された。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1 + \cos\theta} + \frac{1}{1 - \cos\theta} = \frac{2}{\sin^2\theta}$

(2) $\frac{1}{\tan\theta} - \tan\theta = \frac{2\cos2\theta}{\sin2\theta}$