円 $x^2 + y^2 = 13$ と直線 $y = -x - 1$ の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求める。

## 問題12(1)

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 13$ と直線 $y = -x - 1$ の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式と直線の方程式を連立させて、$y$ を消去し、$x$ の2次方程式を導出する。

得られた2次方程式の判別式 $D$ を計算し、以下の条件で共有点の個数を判断する。

* $D > 0$ ならば、共有点は2個

* $D = 0$ ならば、共有点は1個

* $D < 0$ ならば、共有点は0個

共有点がある場合は、$x$ の値を求めて、$y = -x - 1$ に代入して $y$ の値を求める。

円の方程式に直線の方程式を代入すると、

$x^2 + (-x - 1)^2 = 13$

$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 13$

$2x^2 + 2x + 1 = 13$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$

$D > 0$ なので、共有点は2個ある。

2次方程式を解くと、

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3$ または $x = 2$

$x = -3$ のとき、$y = -(-3) - 1 = 3 - 1 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = -2 - 1 = -3$

したがって、共有点の座標は $(-3, 2)$ と $(2, -3)$ である。

3. 最終的な答え

共有点の個数は2個。

共有点の座標は $(-3, 2)$ と $(2, -3)$。