3点 A(0, 5), B(2, 1), C(-4, 1) を頂点とする三角形 ABC の外接円の半径と、外心の座標を求めよ。

## 問題11

1. **問題の内容**

3点 A(0, 5), B(2, 1), C(-4, 1) を頂点とする三角形 ABC の外接円の半径と、外心の座標を求めよ。

2. **解き方の手順**

外心の座標を (p, q) とすると、外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点であるから、以下の式が成り立つ。

$AP^2 = BP^2 = CP^2$

ここで、$AP^2$, $BP^2$, $CP^2$ はそれぞれ

$AP^2 = (p - 0)^2 + (q - 5)^2 = p^2 + (q - 5)^2 = p^2 + q^2 - 10q + 25$

$BP^2 = (p - 2)^2 + (q - 1)^2 = p^2 - 4p + 4 + q^2 - 2q + 1 = p^2 - 4p + q^2 - 2q + 5$

$CP^2 = (p - (-4))^2 + (q - 1)^2 = (p + 4)^2 + (q - 1)^2 = p^2 + 8p + 16 + q^2 - 2q + 1 = p^2 + 8p + q^2 - 2q + 17$

$AP^2 = BP^2$ より

$p^2 + q^2 - 10q + 25 = p^2 - 4p + q^2 - 2q + 5$

$-10q + 25 = -4p - 2q + 5$

$4p - 8q = -20$

$p - 2q = -5$ ...(1)

$BP^2 = CP^2$ より

$p^2 - 4p + q^2 - 2q + 5 = p^2 + 8p + q^2 - 2q + 17$

$-4p + 5 = 8p + 17$

$-12p = 12$

$p = -1$

これを (1) に代入すると

$-1 - 2q = -5$

$-2q = -4$

$q = 2$

したがって、外心の座標は (-1, 2) である。

外接円の半径 R は、$AP = R$ より

$R^2 = AP^2 = (-1)^2 + (2 - 5)^2 = 1 + 9 = 10$

$R = \sqrt{10}$

3. **最終的な答え**

外接円の半径: $\sqrt{10}$

外心の座標: (-1, 2)