長方形ABCDがあり、$AB = 6$、$AD = 12$です。点Pは辺ABの中点Mから出発し、毎秒3の速さでAを経てDに向かいます。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さでBを経て、辺BCの中点のNに向かいます。点QがNに着いた後は動かないものとし、辺CDの中点をOとします。出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを求めます。ただし、$1 < x \le 3$とします。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 6$、$AD = 12$です。点Pは辺ABの中点Mから出発し、毎秒3の速さでAを経てDに向かいます。点Qは点Pと同時にMを出発し、毎秒3の速さでBを経て、辺BCの中点のNに向かいます。点QがNに着いた後は動かないものとし、辺CDの中点をOとします。出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを求めます。ただし、$1 < x \le 3$とします。

2. 解き方の手順

まず、点MはABの中点なので、$AM = MB = 3$です。

点NはBCの中点なので、$BN = NC = 6$です。

$1 < x \le 3$のときを考えます。

点PはMからAへ向かい、$AM = 3$なので、$MA$間を1秒で移動します。$1 < x$なので、点PはAを通過しています。

点QはMからBへ向かい、$MB = 3$なので、$MB$間を1秒で移動します。$1 < x$なので、点QはBを通過しています。

$1 < x \le 3$において、点Pは辺AD上を移動し、点Qは辺BC上を移動します。

点PはAから$3(x-1)$進んだ位置にいます。よって、$AP = 3(x-1)$です。

点QはBから$3(x-1)$進んだ位置にいます。よって、$BQ = 3(x-1)$です。

点OはCDの中点なので、$OC = 3$です。

$\triangle OPQ$の面積を求めるために、点Pと点Qの座標を考えます。

Aを原点(0,0)とすると、

Pの座標は$(0, 3(x-1))$です。

Qの座標は$(6, 3+3(x-1))=(6, 3x)$です。

Oの座標は$(6, 12)$から横に3移動した点なので、$O(3, 12)$です。

$\triangle OPQ$の面積は、ベクトル$\vec{OP}$と$\vec{OQ}$を使って計算できます。

$\vec{OP} = (0-3, 3(x-1)-12) = (-3, 3x-15)$

$\vec{OQ} = (6-3, 3x-12) = (3, 3x-12)$

$\triangle OPQ = \frac{1}{2} |(-3)(3x-12) - (3)(3x-15)| = \frac{1}{2} | -9x + 36 - 9x + 45 | = \frac{1}{2} |-18x + 81| = \frac{1}{2} |81 - 18x|$

$1 < x \le 3$の範囲で、$81 - 18x > 0$なので、

$y = \frac{1}{2}(81 - 18x) = \frac{81}{2} - 9x = -9x + \frac{81}{2}$

3. 最終的な答え

$y = -9x + \frac{81}{2}$ ($1 < x \le 3$)