中心が$(1, 2)$である円$C$と、円$x^2 + y^2 = 20$が内接するとき、円$C$の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が$(1, 2)$である円$C$と、円$x^2 + y^2 = 20$が内接するとき、円$C$の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円$x^2 + y^2 = 20$の中心と半径を求める。この円の中心は原点$(0, 0)$であり、半径は$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$である。

次に、円$C$の中心$(1, 2)$と円$x^2 + y^2 = 20$の中心$(0, 0)$の間の距離$d$を求める。

$d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

円$C$と円$x^2 + y^2 = 20$が内接するということは、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の差の絶対値に等しいことを意味する。

円$C$の半径を$r$とすると、$|2\sqrt{5} - r| = \sqrt{5}$となる。

場合1: $2\sqrt{5} - r = \sqrt{5}$ の場合、 $r = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

場合2: $2\sqrt{5} - r = -\sqrt{5}$ の場合、 $r = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

円Cの方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = r^2$ で表される。

場合1: $r = \sqrt{5}$のとき、円Cの方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5$

$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$

場合2: $r = 3\sqrt{5}$のとき、円Cの方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 45$

$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 40 = 0$

3. 最終的な答え

円Cの方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ または $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 45$。

すなわち、$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ または $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 40 = 0$。

しかし、通常内接という場合、円Cは与えられた円の内側にあると考えられるため、半径が小さい方を選択する。

よって、円$C$の方程式は$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$である。

または $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$である。