直線 $x=1$ に関して、放物線 $y=x^2 - 4x - 5$ と対称な放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x=1$ に関して、放物線 $y=x^2 - 4x - 5$ と対称な放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 - 4x - 5$ 上の任意の点 $(x, y)$ を考えます。

直線 $x = 1$ に関して点 $(x, y)$ と対称な点を $(x', y')$ とします。

対称な点の性質から、 $y' = y$ であることは明らかです。

$x$ と $x'$ の関係は、 $x = 1$ が $x$ と $x'$ の中点であることから導き出されます。

つまり、$1 = \frac{x + x'}{2}$ が成り立ちます。

この式を $x'$ について解くと、$x' = 2 - x$ となります。

したがって、対称な点 $(x', y')$ は $(2 - x, y)$ と表されます。

$x' = 2 - x$ より、$x = 2 - x'$ となります。

これを $y = x^2 - 4x - 5$ に代入すると、

$y = (2 - x')^2 - 4(2 - x') - 5$

$y = 4 - 4x' + x'^2 - 8 + 4x' - 5$

$y = x'^2 - 9$

したがって、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 9$ となります。

（最後に $x'$ を $x$ に置き換えた。）

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 9$