(1) 2直線 $y=x+1$ と $y=-(2+\sqrt{3})x-1$ のなす鋭角 $\theta$ を求めよ。 (2) 等式 $f(x)=x+\int_{0}^{2} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2直線 $y=x+1$ と $y=-(2+\sqrt{3})x-1$ のなす鋭角 $\theta$ を求めよ。

(2) 等式 $f(x)=x+\int_{0}^{2} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、2直線のなす角 $\theta$ は

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1+m_1 m_2} \right|$$

で表される。

与えられた2直線について、$m_1 = 1$ , $m_2 = -(2+\sqrt{3})$ であるから

$$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-(2+\sqrt{3}))}{1 + 1\cdot (-(2+\sqrt{3}))} \right| = \left| \frac{3+\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{(3+\sqrt{3})(-1+\sqrt{3})}{(-1-\sqrt{3})(-1+\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{-3+3\sqrt{3}-\sqrt{3}+3}{1-3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{3}}{-2} \right| = \sqrt{3}$$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (60度) である。

(2)

$f(x)=x+\int_{0}^{2} f(t) dt$ において、$\int_{0}^{2} f(t) dt$ は定数であるから、これを $A$ とおくと、

$$f(x) = x + A$$

ここで、$A = \int_{0}^{2} f(t) dt$ であるから、

$$A = \int_{0}^{2} (t+A) dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 + At \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(2^2) + A(2) = 2+2A$$

よって、$A = 2+2A$ より、$A = -2$

したがって、$f(x) = x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$ (または60度)

(2) $f(x) = x - 2$