## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像の問題は次の通りです。

* **問題9:** 次のような円の方程式を求めよ。

* (1) 2点A(-3, 7), B(5, 1)を結ぶ線分を直径とする。

* (2) 中心が点(-2, 9)で、点A(-1, 7)を通る。

* **問題10:** 次の方程式はどのような図形を表すか。

* (1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$

* (2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$

* **問題11:** 3点A(0, 5), B(2, 1), C(-4, 1)を頂点とする△ABCの外接円の半径と、外心の座標を求めよ。

* **問題12:** 次の円と直線の共有点の個数を求め、共有点がある場合はその座標を求めよ。

* (1) $x^2 + y^2 = 13$, $y = -x - 1$

* (2) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 2$

* (3) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 3$

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2. 解き方の手順

**問題9**

(1) 2点A(-3, 7), B(5, 1)を結ぶ線分を直径とする円

中心は線分ABの中点なので、

中心の座標は $(\frac{-3+5}{2}, \frac{7+1}{2}) = (1, 4)$

半径はABの半分の長さなので、

$AB = \sqrt{(5-(-3))^2 + (1-7)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

半径は$10/2 = 5$

よって円の方程式は

$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 5^2$

$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 25$

(2) 中心が点(-2, 9)で、点A(-1, 7)を通る円

半径は中心(-2, 9)と点A(-1, 7)との距離なので、

$r = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (7-9)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

よって円の方程式は

$(x+2)^2 + (y-9)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x+2)^2 + (y-9)^2 = 5$

**問題10**

(1) $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$

平方完成を行う。

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) + 5 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 5 - 1 - 9 = 0$

$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$

これは、中心(1, 3), 半径$\sqrt{5}$の円である。

(2) $x^2 + y^2 + 4y = 0$

平方完成を行う。

$x^2 + (y^2 + 4y) = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0$

$x^2 + (y+2)^2 = 4$

これは、中心(0, -2), 半径2の円である。

**問題11**

3点A(0, 5), B(2, 1), C(-4, 1)を頂点とする△ABCの外接円の半径と、外心の座標を求める。

外心の座標を(x, y)とおく。外心は三角形の各頂点からの距離が等しいので、

$OA^2 = OB^2 = OC^2$が成り立つ。

$OA^2 = (x-0)^2 + (y-5)^2 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$OB^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$

$OC^2 = (x+4)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 8x - 2y + 17$

$OA^2 = OB^2$より、

$x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$

$-10y + 25 = -4x - 2y + 5$

$4x - 8y + 20 = 0$

$x - 2y + 5 = 0$

$x = 2y - 5$

$OB^2 = OC^2$より、

$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = x^2 + y^2 + 8x - 2y + 17$

$-4x - 2y + 5 = 8x - 2y + 17$

$-12x - 12 = 0$

$x = -1$

$x = 2y - 5$に$x = -1$を代入すると、

$-1 = 2y - 5$

$2y = 4$

$y = 2$

外心の座標は(-1, 2)である。

外接円の半径はOAの長さなので、

$r = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

**問題12**

(1) $x^2 + y^2 = 13$, $y = -x - 1$

$x^2 + (-x-1)^2 = 13$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 13$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

$x = -3$のとき、$y = -(-3) - 1 = 3 - 1 = 2$

$x = 2$のとき、$y = -2 - 1 = -3$

共有点は(-3, 2), (2, -3)の2個

(2) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 2$

$x^2 + (x+2)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 2$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

$x = -1$のとき、$y = -1 + 2 = 1$

共有点は(-1, 1)の1個

(3) $x^2 + y^2 = 2$, $y = x + 3$

$x^2 + (x+3)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 2$

$2x^2 + 6x + 7 = 0$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(2)(7)}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 56}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{-20}}{4}$

判別式が負なので、実数解なし。

共有点は0個

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3. 最終的な答え

**問題9**

(1) $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 25$

(2) $(x+2)^2 + (y-9)^2 = 5$

**問題10**

(1) 中心(1, 3), 半径$\sqrt{5}$の円

(2) 中心(0, -2), 半径2の円

**問題11**

外接円の半径: $\sqrt{10}$

外心の座標: (-1, 2)

**問題12**

(1) 共有点の個数: 2個、座標: (-3, 2), (2, -3)

(2) 共有点の個数: 1個、座標: (-1, 1)

(3) 共有点の個数: 0個