画像にある空欄を埋める問題です。 (1) 点$(a, b)$を中心とする半径$r$の円の方程式を求める。 (2) 円$x^2 + y^2 = r^2$上の点$P(a, b)$における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

画像にある空欄を埋める問題です。

(1) 点$(a, b)$を中心とする半径$r$の円の方程式を求める。

(2) 円$x^2 + y^2 = r^2$上の点$P(a, b)$における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 中心$(a, b)$、半径$r$の円の方程式は、円上の任意の点$(x, y)$との距離が$r$であることから導かれます。距離の公式から、$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$となります。両辺を2乗することで、円の方程式が得られます。

(2) 円$x^2 + y^2 = r^2$上の点$(a, b)$における接線の方程式を求めるには、いくつかの方法があります。ここでは、微分を用いる方法と、幾何的な性質を利用する方法の2つを示します。

* 微分を用いる方法：

円の方程式を$y$について解くと、$y = \pm\sqrt{r^2 - x^2}$となります。点$(a, b)$における接線の傾きは、この式の微分係数から求められます。しかし、この方法は計算が煩雑になるため、ここでは幾何的な性質を利用します。

* 幾何的な性質を利用する方法：

円の中心$(0, 0)$と接点$(a, b)$を結ぶ直線は、接線と直交します。よって、接線の傾きは、直線$(0, 0)$と$(a, b)$を結ぶ直線の傾き$-\frac{a}{b}$の逆数で、符号を変えたもの、すなわち$-\frac{a}{b}$となります。したがって、接線の方程式は、$y - b = -\frac{a}{b}(x - a)$と表せます。これを整理します。

$y - b = -\frac{a}{b}(x - a)$

$b(y - b) = -a(x - a)$

$by - b^2 = -ax + a^2$

$ax + by = a^2 + b^2$

点$(a, b)$は円$x^2 + y^2 = r^2$上の点なので、$a^2 + b^2 = r^2$です。

したがって、$ax + by = r^2$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

(2) $ax + by = r^2$