点 A(3, 1) を通り、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 A(3, 1) を通り、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 A(3, 1) を通る直線の式を $y - 1 = m(x - 3)$ と置きます。これを整理すると $y = mx - 3m + 1$ となります。

次に、この直線が円 $x^2 + y^2 = 5$ に接するという条件を考えます。直線と円が接するということは、円の中心 (0, 0) と直線との距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しいということです。点と直線の距離の公式を用いると、

$\frac{|m \cdot 0 - 0 + 3m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

となります。絶対値を外して両辺を2乗すると、

$(3m - 1)^2 = 5(m^2 + 1)$

$9m^2 - 6m + 1 = 5m^2 + 5$

$4m^2 - 6m - 4 = 0$

$2m^2 - 3m - 2 = 0$

これを解くと、

$(2m + 1)(m - 2) = 0$

$m = -\frac{1}{2}, 2$

したがって、求める直線の方程式は

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1$ または $y = 2x - 6 + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ または $y = 2x - 5$

これを整理すると、

$x + 2y - 5 = 0$ または $2x - y - 5 = 0$

となります。

また、x軸に垂直な直線の場合、つまり $x=3$ も点A(3,1)を通ります。この直線と円の交点を調べます。

$x^2 + y^2 = 5$ に $x=3$を代入すると、

$3^2 + y^2 = 5$

$9 + y^2 = 5$

$y^2 = -4$

となり、実数解を持ちません。したがって、x=3 は円と接しません。

3. 最終的な答え

$x + 2y - 5 = 0$ および $2x - y - 5 = 0$