中心が点 $(1, 2)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 = 20$ が内接するとき、円 $C$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が点 $(1, 2)$ である円 $C$ と、円 $x^2 + y^2 = 20$ が内接するとき、円 $C$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 20$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ である。

円 $C$ の中心は $(1, 2)$ である。

2つの円が内接するとき、中心間の距離は、2つの円の半径の差の絶対値に等しい。

円 $C$ の半径を $r$ とすると、中心間の距離は $\sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ である。

したがって、$|2\sqrt{5} - r| = \sqrt{5}$ が成り立つ。

この式を解くと、

$2\sqrt{5} - r = \sqrt{5}$ または $2\sqrt{5} - r = -\sqrt{5}$ となる。

$2\sqrt{5} - r = \sqrt{5}$ のとき、$r = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$。

$2\sqrt{5} - r = -\sqrt{5}$ のとき、$r = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$。

したがって、$r = \sqrt{5}$ または $r = 3\sqrt{5}$ である。

円 $C$ の方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = r^2$ であるから、

$r = \sqrt{5}$ のとき、$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$。

$r = 3\sqrt{5}$ のとき、$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$。

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ または $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 45$