図のように、AB=10cm, BC=10cm の直角二等辺三角形 ABC と、PS=6cm の長方形 PQRS がある。点 C から点 R まで線 l 上を長方形が移動するとき、0 ≤ x ≤ 6 および 6 < x ≤ 10 のときの x と y の関係式を求め、点 C が点 R に重なるまで動くときの x と y の関係を表すグラフを選択する。ここで、x は線分 CQ の長さを表し、y は三角形 ABC と長方形 PQRS が重なる部分の面積を表す。

1. 問題の内容

図のように、AB=10cm, BC=10cm の直角二等辺三角形 ABC と、PS=6cm の長方形 PQRS がある。点 C から点 R まで線 l 上を長方形が移動するとき、0 ≤ x ≤ 6 および 6 < x ≤ 10 のときの x と y の関係式を求め、点 C が点 R に重なるまで動くときの x と y の関係を表すグラフを選択する。ここで、x は線分 CQ の長さを表し、y は三角形 ABC と長方形 PQRS が重なる部分の面積を表す。

2. 解き方の手順

(1) 0 ≤ x ≤ 6 のとき、重なる部分は三角形であり、底辺は x、高さは x である。したがって、面積 y は

$y = \frac{1}{2}x^2$

となる。

(2) 6 < x ≤ 10 のとき、重なる部分は台形になる。台形の高さは長方形の幅である 6cm。上底は長方形の左側の辺の長さ、下底は x。

長方形の左上の頂点をTとすると、CTの長さはx-6となる。

よって高さは6cm。台形の面積は

$y = \frac{1}{2} (x + x-6) * 6 = \frac{1}{2}(2x-6)*6 = (x-3)*6 = 6x-18$

(3) x=0 のとき、y=0。x=6 のとき、y=1/2 * 6^2 = 18。x=10 のとき、y = 6*10 - 18 = 42。

xが0から6まで増加するとyは二次関数的に増加し、xが6から10まで増加するとyは直線的に増加する。x=6で値が連続であることに注意するとグラフの形状は(2)となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x^2$

(2) $y = 6x - 18$

(3) 2