直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの、方程式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの、方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを $m_1$ とすると、

$m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$

求める直線の傾きを $m$ とすると、2つの直線がなす角 $\theta$ は、

$\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$

で与えられます。問題より、$\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、

$\tan \frac{\pi}{4} = 1 = \left| \frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m \frac{1}{\sqrt{3}}} \right|$

絶対値を外すと、

$\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m \frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$ または $\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m \frac{1}{\sqrt{3}}} = -1$

(i) $\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m \frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$ のとき、

$m - \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{m}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}m - 1 = \sqrt{3} + m$

$(\sqrt{3}-1)m = \sqrt{3} + 1$

$m = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

(ii) $\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m \frac{1}{\sqrt{3}}} = -1$ のとき、

$m - \frac{1}{\sqrt{3}} = -1 - \frac{m}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}m - 1 = -\sqrt{3} - m$

$(\sqrt{3}+1)m = 1 - \sqrt{3}$

$m = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})^2}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1-3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}$

求める直線は原点を通るので、それぞれの場合の直線の方程式は、

$y = (2+\sqrt{3})x$ と $y = (-2+\sqrt{3})x$

となる。

3. 最終的な答え

$y = (2+\sqrt{3})x$ 、 $y = (-2+\sqrt{3})x$