三角形$ABC$の内部に点$P$があり、$6\vec{PA} + 3\vec{PB} + 2\vec{PC} = \vec{0}$を満たしている。 (1) 点$P$はどのような位置にあるか。 (2) $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$の面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形$ABC$の内部に点$P$があり、$6\vec{PA} + 3\vec{PB} + 2\vec{PC} = \vec{0}$を満たしている。

(1) 点$P$はどのような位置にあるか。

(2) $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{PA}$, $\vec{PB}$, $\vec{PC}$を含む式を、$\vec{AP}$などを用いて書き換える。

$\vec{AP} = -\vec{PA}$, $\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB}$, $\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC}$を用いると、

$6\vec{PA} + 3\vec{PB} + 2\vec{PC} = \vec{0}$は、

$-6\vec{AP} + 3(\vec{AP} - \vec{AB}) + 2(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$-6\vec{AP} + 3\vec{AP} - 3\vec{AB} + 2\vec{AP} - 2\vec{AC} = \vec{0}$

$-\vec{AP} - 3\vec{AB} - 2\vec{AC} = \vec{0}$

$\vec{AP} = -3\vec{AB} - 2\vec{AC}$

$\vec{AP} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{5} \times 5 = 5\frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{3+2}$

点$D$を$\vec{AD} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{3+2}$となる点とする。

このとき、点$D$は線分$BC$を$2:3$に内分する点である。

$\vec{AP} = 5\vec{AD}$

これは、点$A,D,P$が一直線上にあり、かつ$AD:AP = 1:5$となることを示している。

計算間違いをしているようなので、以下のように計算する。

$6\vec{PA} + 3\vec{PB} + 2\vec{PC} = \vec{0}$を$\vec{AP}$を基準にして書き換えると、

$-6\vec{AP} + 3(\vec{AB} - \vec{AP}) + 2(\vec{AC} - \vec{AP}) = \vec{0}$

$-6\vec{AP} + 3\vec{AB} - 3\vec{AP} + 2\vec{AC} - 2\vec{AP} = \vec{0}$

$-11\vec{AP} + 3\vec{AB} + 2\vec{AC} = \vec{0}$

$11\vec{AP} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{11} = \frac{11}{11} \times \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{5} \times \frac{5}{11}$

$\vec{AP} = \frac{5}{11} (\frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{5})$

点$D$を線分$BC$を$2:3$に内分する点とすると、

$\vec{AD} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{5}$

よって、$\vec{AP} = \frac{5}{11}\vec{AD}$となる。

これは、点$A,P,D$が一直線上にあり、$AP:AD = 5:11$であることを示している。

(2) $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCA$の面積の比を求める。

$6\vec{PA} + 3\vec{PB} + 2\vec{PC} = \vec{0}$より、

$6\vec{AP} = 3\vec{AB} - 3\vec{AP} + 2\vec{AC} - 2\vec{AP}$

$11\vec{AP} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC}$

$s+t = 11$, $3\vec{AB} + 2\vec{AC}$

点$P$は三角形$ABC$の内部にあるので、$s > 0, t > 0$

$\triangle PBC = \frac{6}{11}\triangle ABC$

$\triangle PCA = \frac{3}{11}\triangle ABC$

$\triangle PAB = \frac{2}{11}\triangle ABC$

$\triangle PAB: \triangle PBC: \triangle PCA = 2:6:3$

3. 最終的な答え

(1) 点$P$は線分$BC$を$2:3$に内分する点を$D$としたとき、線分$AD$上にあり、$AP:PD = 5:6$を満たす点である。

(2) $\triangle PAB: \triangle PBC: \triangle PCA = 2:6:3$