$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて $\vec{OP}$ を表す。

$\vec{OD} = \frac{2}{5} \vec{OB} = \frac{2}{5} \vec{b}$ であるから、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{2}{5}\vec{b}) = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて $\vec{OP}$ を表す。

$\vec{OC} = \frac{3}{4}\vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{a}$ であるから、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{3}{4}\vec{a}) = \frac{3t}{4}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{4}$ かつ $\frac{2s}{5} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = \frac{5}{2} (1-t)$

$1 - \frac{5}{2} (1-t) = \frac{3t}{4}$

$1 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} t = \frac{3}{4} t$

$-\frac{3}{2} = -\frac{7}{4} t$

$t = \frac{6}{7}$

$s = \frac{5}{2} (1-\frac{6}{7}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{14}$

よって、

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{14})\vec{a} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} \vec{b} = \frac{9}{14}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$

または

$\vec{OP} = \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{7} \vec{a} + (1-\frac{6}{7})\vec{b} = \frac{9}{14}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{9}{14}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$