直角三角形ABCにおいて、点PはAからBへ秒速3cmで、点QはAからCへ秒速4cmで移動する。Aを出発してから$x$秒後の三角形APQの面積を$y$ cm$^2$とする。 (1) $x$の変域を求め、$y$を$x$の式で表す。 (2) $x=3$のときの三角形APQの面積を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PはAからBへ秒速3cmで、点QはAからCへ秒速4cmで移動する。Aを出発してから$x$秒後の三角形APQの面積を$y$ cm$^2$とする。

(1) $x$の変域を求め、$y$を$x$の式で表す。

(2) $x=3$のときの三角形APQの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが点Bに到達するまでの時間、点Qが点Cに到達するまでの時間を考える。

点Pは秒速3cmでAB=15cm進むので、かかる時間は$15/3 = 5$秒。

点Qは秒速4cmでAC=20cm進むので、かかる時間は$20/4 = 5$秒。

よって、$x$の変域は、$0 \le x \le 5$。

$x$秒後のAPの長さは$3x$ cm、AQの長さは$4x$ cm。

三角形APQは直角三角形なので、面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times (3x) \times (4x) = 6x^2$

したがって、$y = 6x^2$。

(2)

$x=3$を$y = 6x^2$に代入すると、

$y = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 5$

$y = 6x^2$

(2) 54 cm$^2$