円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ について、円と直線が接するときの定数 $k$ の値と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ について、円と直線が接するときの定数 $k$ の値と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点(0, 0) で、半径は1です。

直線 $y = x + k$ を $x - y + k = 0$ と変形します。

円と直線が接するとき、円の中心から直線までの距離が円の半径に等しくなります。

点と直線の距離の公式を用いて、円の中心(0, 0) から直線 $x - y + k = 0$ までの距離 $d$ を求めます。

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

$d$ が円の半径1に等しいので、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} = 1$

$|k| = \sqrt{2}$

よって、$k = \pm \sqrt{2}$

次に接点の座標を求めます。

$k = \sqrt{2}$ のとき、$y = x + \sqrt{2}$

$x^2 + (x + \sqrt{2})^2 = 1$

$x^2 + x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 1$

$2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$x^2 + \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$

$(x + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = x + \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

接点の座標は $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

$k = -\sqrt{2}$ のとき、$y = x - \sqrt{2}$

$x^2 + (x - \sqrt{2})^2 = 1$

$x^2 + x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 1$

$2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{2} = 0$

$(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = x - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

接点の座標は $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

3. 最終的な答え

$k = \sqrt{2}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

$k = -\sqrt{2}$ のとき、接点の座標は $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$