△ABC において、辺 AB を 3:1 に外分する点を D、辺 BC を 1:2 に内分する点を E とする。直線 AE と直線 CD の交点を F とするとき、$\overrightarrow{AF}$ を $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ を用いて表せ。

## 解答

1. 問題の内容

△ABC において、辺 AB を 3:1 に外分する点を D、辺 BC を 1:2 に内分する点を E とする。直線 AE と直線 CD の交点を F とするとき、$\overrightarrow{AF}$ を $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 F が直線 AE 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE}$

と表せる。

$\overrightarrow{AE}$ は、点 E が BC を 1:2 に内分することから

$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$

と表せるので、

$\overrightarrow{AF} = s(\frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}) = \frac{2s}{3}\overrightarrow{b} + \frac{s}{3}\overrightarrow{c}$ ...(1)

次に、点 F が直線 CD 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{AF} = t\overrightarrow{AC} + (1-t)\overrightarrow{AD}$

と表せる。

点 D は AB を 3:1 に外分するので、$\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

よって、

$\overrightarrow{AF} = t\overrightarrow{c} + (1-t)(-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}) = -\frac{1-t}{2}\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c}$ ...(2)

$\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ は一次独立なので、(1), (2) より、

$\frac{2s}{3} = -\frac{1-t}{2}$

$\frac{s}{3} = t$

この連立方程式を解くと、

$\frac{2}{3}(3t) = -\frac{1-t}{2}$

$2t = -\frac{1-t}{2}$

$4t = -1 + t$

$3t = -1$

$t = -\frac{1}{3}$

$s = 3t = -1$

したがって、

$\overrightarrow{AF} = \frac{2s}{3}\overrightarrow{b} + \frac{s}{3}\overrightarrow{c} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$