三角関数の値を求める問題です。具体的には、 (1) $\sin{\frac{16}{3}\pi}$ (2) $\cos{\frac{7}{2}\pi}$ (3) $\tan{(-\frac{11}{6}\pi)}$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

三角関数の値を求める問題です。具体的には、

(1) $\sin{\frac{16}{3}\pi}$

(2) $\cos{\frac{7}{2}\pi}$

(3) $\tan{(-\frac{11}{6}\pi)}$

の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{\frac{16}{3}\pi}$

$\frac{16}{3}\pi$ は $2\pi$ より大きいので、$2\pi$ の整数倍を引いて考えます。

$\frac{16}{3}\pi = \frac{15}{3}\pi + \frac{1}{3}\pi = 5\pi + \frac{1}{3}\pi = 2\cdot2\pi + \pi + \frac{1}{3}\pi = 2\cdot2\pi + \frac{4}{3}\pi$.

よって、$\sin{\frac{16}{3}\pi} = \sin{\frac{4}{3}\pi}$.

$\sin{\frac{4}{3}\pi} = \sin{(\pi + \frac{1}{3}\pi)} = -\sin{\frac{1}{3}\pi} = -\sin{\frac{\pi}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(2) $\cos{\frac{7}{2}\pi}$

$\frac{7}{2}\pi$ は $2\pi$ より大きいので、$2\pi$ の整数倍を引いて考えます。

$\frac{7}{2}\pi = \frac{4}{2}\pi + \frac{3}{2}\pi = 2\pi + \frac{3}{2}\pi$.

よって、$\cos{\frac{7}{2}\pi} = \cos{\frac{3}{2}\pi} = 0$.

(3) $\tan{(-\frac{11}{6}\pi)}$

$\tan$ は奇関数なので、$\tan{(-\frac{11}{6}\pi)} = -\tan{\frac{11}{6}\pi}$.

$\frac{11}{6}\pi = 2\pi - \frac{1}{6}\pi$ なので、

$\tan{\frac{11}{6}\pi} = \tan{(2\pi - \frac{1}{6}\pi)} = \tan{(-\frac{1}{6}\pi)} = -\tan{\frac{1}{6}\pi} = -\tan{\frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

したがって、$\tan{(-\frac{11}{6}\pi)} = -\tan{\frac{11}{6}\pi} = - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\frac{16}{3}\pi} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos{\frac{7}{2}\pi} = 0$

(3) $\tan{(-\frac{11}{6}\pi)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$