$0^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ で、$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係式を利用します。

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ なので、$\tan^2 \theta = (2\sqrt{2})^2 = 8$ となります。

したがって、

$8 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$9 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲において、$\tan \theta = 2\sqrt{2} > 0$ なので、$\theta$ は第1象限または第3象限にあります。

しかし、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ であるため、$\theta$ は第1象限または第2象限にあります。したがって、$\theta$ は第1象限にあります。

ここで、第1象限ではcosの値は正、第2象限ではcosの値は負であるため、 $\theta$ が第2象限にあるとすると $\tan \theta$ は負になるので不適。

したがって$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲では、$\sin \theta \ge 0$ なので、

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$