xyz空間に4点A, B, C, Dと原点Oがある。OA, OB, OCが生成する平行六面体をKとする。ただし、(1),(2),(3)においては、A(-1, 2, -3), B(1, -2, -3), C(-1, -2, 3)とする。 (1) 平行六面体Kの体積Vを求める。 (2) OAとOBが生成する平行四辺形の面積Sを求める。 (3) 3点O, A, Bを通る平面をHとする。点Cから平面Hに下ろした垂線の長さhを求める。 (4) OA, OB, ODが生成する平行六面体をLとする。OD = sOA + tOB + uOCとおいたとき、|u|を平行六面体Kの体積Vと平行六面体Lの体積Wで表し、また、uを求める。ただし、V ≠ 0とする。

1. 問題の内容

xyz空間に4点A, B, C, Dと原点Oがある。OA, OB, OCが生成する平行六面体をKとする。ただし、(1),(2),(3)においては、A(-1, 2, -3), B(1, -2, -3), C(-1, -2, 3)とする。

(1) 平行六面体Kの体積Vを求める。

(2) OAとOBが生成する平行四辺形の面積Sを求める。

(3) 3点O, A, Bを通る平面をHとする。点Cから平面Hに下ろした垂線の長さhを求める。

(4) OA, OB, ODが生成する平行六面体をLとする。OD = sOA + tOB + uOCとおいたとき、|u|を平行六面体Kの体積Vと平行六面体Lの体積Wで表し、また、uを求める。ただし、V ≠ 0とする。

2. 解き方の手順

(1) 平行六面体の体積Vは、ベクトルOA, OB, OCで構成される行列式の絶対値で求められる。

$V = |det(OA, OB, OC)|$

$OA = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, OB = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}, OC = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$V = |(-1)((-2)(3) - (-3)(-2)) - 2((1)(3) - (-3)(-1)) + (-3)((1)(-2) - (-2)(-1))|$

$V = |(-1)(-6 - 6) - 2(3 - 3) + (-3)(-2 - 2)|$

$V = |12 - 0 + 12| = 24$

(2) 平行四辺形の面積Sは、ベクトルOAとOBの外積の大きさで求められる。

$S = |OA \times OB|$

$OA \times OB = \begin{pmatrix} (2)(-3) - (-3)(-2) \\ (-3)(1) - (-1)(-3) \\ (-1)(-2) - (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 6 \\ -3 - 3 \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$

$S = \sqrt{(-12)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

(3) 平面Hの方程式は、OAとOBに垂直なベクトルを法線ベクトルnとして、$n \cdot (x, y, z) = 0$と表せる。

法線ベクトルは$OA \times OB = \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$であるから、平面Hの方程式は$-12x - 6y = 0$、つまり$2x + y = 0$となる。

点C(-1, -2, 3)から平面Hへの距離hは、公式$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$を用いて計算する。

平面Hの方程式は$2x + y + 0z = 0$なので、$a = 2, b = 1, c = 0, d = 0$である。

$h = \frac{|2(-1) + 1(-2) + 0(3)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|-2 - 2|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(4) OD = sOA + tOB + uOCであるとき、OA, OB, ODが生成する平行六面体の体積Wは、OA, OB, sOA + tOB + uOCで構成される行列式の絶対値で求められる。

$W = |det(OA, OB, OD)| = |det(OA, OB, sOA + tOB + uOC)|$

行列式の性質より、$det(OA, OB, sOA + tOB + uOC) = det(OA, OB, sOA) + det(OA, OB, tOB) + det(OA, OB, uOC)$

$det(OA, OB, sOA) = s \cdot det(OA, OB, OA) = 0$

$det(OA, OB, tOB) = t \cdot det(OA, OB, OB) = 0$

したがって、$W = |det(OA, OB, uOC)| = |u \cdot det(OA, OB, OC)| = |u| \cdot |det(OA, OB, OC)| = |u| \cdot V$

よって、$|u| = \frac{W}{V}$

ここで、$OD = sOA + tOB + uOC$であることから、$\vec{OD} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s + t - u \\ 2s - 2t - 2u \\ -3s - 3t + 3u \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$

逆行列を求めるのが難しいので、連立方程式を解く。

$-s + t - u = d_1$

$2s - 2t - 2u = d_2$

$-3s - 3t + 3u = d_3$

2番目の式を2で割ると、$s - t - u = \frac{d_2}{2}$

3番目の式を3で割ると、$-s - t + u = \frac{d_3}{3}$

1番目の式と2番目の式を足すと、$-2u = d_1 + \frac{d_2}{2}$

$u = -\frac{1}{2} d_1 - \frac{1}{4} d_2$

1番目の式と3番目の式を足すと、$-2s - 2t = d_1 + \frac{d_3}{3}$

$-s - t = \frac{d_1}{2} + \frac{d_3}{6}$

3. 最終的な答え

(1) V = 24

(2) S = $6\sqrt{5}$

(3) h = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

(4) $|u| = \frac{W}{V}$, $u = -\frac{1}{2} d_1 - \frac{1}{4} d_2$