3次元空間内に3点 A(1, 1, -1), B(2, -2, -3), C(4, 2, 1) がある。以下の問いに答える。 (1) ベクトルABとベクトルACの外積を求める。 (2) 3点A, B, C を通る平面Hの方程式を求める。 (3) 点Aを中心とし、点Bを通る球面$S_1$の方程式が、$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z - 11 = 0$ で表されることを示す。 (4) 2つの球面 $S_1: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z - 11 = 0$ と $S_2: x^2 + y^2 + z^2 - 5 = 0$ の交わりの円を含む平面Kの方程式を求める。 (5) 2つの球面$S_1$と$S_2$の交わりの円の半径を求める。

1. 問題の内容

3次元空間内に3点 A(1, 1, -1), B(2, -2, -3), C(4, 2, 1) がある。以下の問いに答える。

(1) ベクトルABとベクトルACの外積を求める。

(2) 3点A, B, C を通る平面Hの方程式を求める。

(3) 点Aを中心とし、点Bを通る球面$S_1$の方程式が、$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z - 11 = 0$ で表されることを示す。

(4) 2つの球面 $S_1: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z - 11 = 0$ と $S_2: x^2 + y^2 + z^2 - 5 = 0$ の交わりの円を含む平面Kの方程式を求める。

(5) 2つの球面$S_1$と$S_2$の交わりの円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルABとベクトルACを計算し、外積を求める。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ -2-1 \\ -3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 2-1 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} (-3)(2) - (-2)(1) \\ (-2)(3) - (1)(2) \\ (1)(1) - (-3)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 2 \\ -6 - 2 \\ 1 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ 10 \end{pmatrix}$

(2) 平面Hの法線ベクトルは$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ 10 \end{pmatrix}$に平行なので、$\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}$も法線ベクトルとして使える。平面Hの方程式は$2(x - 1) + 4(y - 1) - 5(z + 1) = 0$と表せる。整理すると$2x + 4y - 5z - 2 - 4 - 5 = 0$, つまり、$2x + 4y - 5z - 11 = 0$。

(3) 点A(1, 1, -1)を中心とし、点B(2, -2, -3)を通る球面の半径は、

$r = \sqrt{(2-1)^2 + (-2-1)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

したがって、球面$S_1$の方程式は

$(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z+1)^2 = 14$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 2z + 1 = 14$

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z + 3 - 14 = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z - 11 = 0$

したがって、題意は示された。

(4) 2つの球面の交わりを含む平面の方程式は、2つの球面の方程式の差を取ることで求められる。

$(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 2z - 11) - (x^2 + y^2 + z^2 - 5) = 0$

$-2x - 2y + 2z - 11 + 5 = 0$

$-2x - 2y + 2z - 6 = 0$

$x + y - z + 3 = 0$

(5) 球面$S_2$の中心は(0, 0, 0)。交わりの円の中心は、球面$S_2$の中心から平面Kに下ろした垂線の足になる。この垂線のベクトル表示は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$であり、平面K上の点なので、$t + t + t + 3 = 0$となる。よって、$3t = -3$となり、$t = -1$。

交わりの円の中心は(-1, -1, 1)。

球面$S_2$の中心から交わりの円の中心までの距離は$\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

球面$S_2$の半径は$\sqrt{5}$なので、交わりの円の半径は$\sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{5 - 3} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ 10 \end{pmatrix}$

(2) $2x + 4y - 5z - 11 = 0$

(3) 示された

(4) $x + y - z + 3 = 0$

(5) $\sqrt{2}$