与えられた等式 $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \tan \alpha$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \tan \alpha$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

等式の左辺を変形して右辺と一致することを示します。

倍角の公式を利用します。

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$

これらを左辺に代入すると、

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{1 + (2\cos^2 \alpha - 1)} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2\cos^2 \alpha}$

約分すると、

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2\cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$

したがって、左辺は右辺に等しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\tan \alpha$