空間内に4点A, B, C, Dと原点Oがある。 $\vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{OC} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とする。 (1) $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ が生成する平行六面体Kの体積Vを求めよ。 (2) $\vec{OA}$と$\vec{OB}$が生成する平行四辺形の面積Sを求めよ。 (3) 3点O, A, Bを通る平面をHとする。点Cから平面Hに下ろした垂線の長さを求めよ。 (4) $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OD}$が生成する平行六面体をLとする。$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ とおいたとき、$|u|$を平行六面体Kの体積Vと平行六面体Lの体積Wで表せ。また、$u$を求めよ。ただし、$V \neq 0$とする。

1. 問題の内容

空間内に4点A, B, C, Dと原点Oがある。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{OC} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とする。

(1) $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ が生成する平行六面体Kの体積Vを求めよ。

(2) $\vec{OA}$と$\vec{OB}$が生成する平行四辺形の面積Sを求めよ。

(3) 3点O, A, Bを通る平面をHとする。点Cから平面Hに下ろした垂線の長さを求めよ。

(4) $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OD}$が生成する平行六面体をLとする。$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ とおいたとき、$|u|$を平行六面体Kの体積Vと平行六面体Lの体積Wで表せ。また、$u$を求めよ。ただし、$V \neq 0$とする。

2. 解き方の手順

(1) 平行六面体の体積は、3つのベクトルで作られる行列式の絶対値で求められる。

$V = |\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})| = \left| \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{vmatrix} \right|$

行列式を計算する。

$V = |-1((-2)(3) - (-2)(-3)) - 1((2)(3) - (-2)(-3)) + (-1)((2)(-3) - (-2)(-3))|$

$V = |-1(-6-6) - 1(6-6) - 1(-6-6)| = |-1(-12) - 1(0) - 1(-12)| = |12 - 0 + 12| = |24| = 24$

(2) 平行四辺形の面積は、2つのベクトルの外積の大きさで求められる。

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} (2)(-3) - (-2)(-3) \\ (-3)(1) - (-1)(-3) \\ (-1)(-2) - (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 6 \\ -3 - 3 \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$

$S = |\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-12)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

(3) 平面Hの法線ベクトルは $\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} -12 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$。簡単のため、$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を法線ベクトルとする。

平面Hの方程式は $2x + y + 0z = 0$。

点Cからの距離hは、

$h = \frac{|2(-1) + (-2) + 0(3)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|-2 - 2|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(4) $\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$

$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OD}$が生成する平行六面体の体積Wは、

$W = |\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OD})|$

$\vec{OD}$を代入すると、

$W = |\det(\vec{OA}, \vec{OB}, s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC})|$

行列式の性質より、

$W = |s\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OA}) + t\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OB}) + u\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})|$

同じベクトルが2つ以上含まれる行列式は0なので、

$W = |u\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})| = |uV|$

よって、 $|u| = \frac{W}{V}$.

また、(1)より、$V = 24$.

3. 最終的な答え

(1) $V = 24$

(2) $S = 6\sqrt{5}$

(3) $h = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(4) $|u| = \frac{W}{V}$, $V = 24$